6. ∠AOC = ?

Решение:

На рисунке изображены центральный угол \( \angle AOC \) и вписанный угол \( \angle ABC \). Оба угла опираются на одну и ту же дугу AC.

Угол \( \angle ABC \) состоит из двух частей: \( 20^{\circ} \) и неизвестного угла \( ? \).

Угол \( \angle OBC \) является частью центрального угла \( \angle AOC \) и опирается на дугу BC. Угол \( \angle BOC \) также является центральным и опирается на дугу BC. Угол \( \angle BOC = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. Часть дуги AC, соответствующая углу \( \angle OBC \), равна \( 30^{\circ} \) (так как \( \angle BOC = 30^{\circ} \) — центральный угол, опирающийся на дугу BC).

Угол \( \angle BAC \) опирается на дугу BC, поэтому \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 30^{\circ} = 15^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle ABО \) \( OA = OB \) (радиусы), поэтому он равнобедренный. \( \angle OAB = \angle OBA = 20^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle AOC \) равен сумме углов \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \).

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABО \), \( \angle AOB = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 20^{\circ}) = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

\( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 140^{\circ} + 30^{\circ} = 170^{\circ} \).

Альтернативный подход:

Угол \( \angle ABC \) — вписанный угол. Он равен половине дуги AC, на которую он опирается. \( \angle ABC = 20^{\circ} + ? \).

Центральный угол \( \angle AOC \) равен дуге AC.

Угол \( \angle AOC \) состоит из двух частей: \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \).

\( \angle BOC = 30^{\circ} \) (дано).

В \( \triangle ABО \), \( OA = OB \) (радиусы), следовательно \( \angle OAB = \angle OBA = 20^{\circ} \). Внутренний угол \( \triangle ABО \) \( \angle AOB = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 20^{\circ}) = 140^{\circ} \).

\( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 140^{\circ} + 30^{\circ} = 170^{\circ} \).

Ответ: \( 170^{\circ} \).