6. \(\angle\) A = 45^, \(\angle\) C = ?

Решение:

На рисунке изображена окружность с центром в точке \( O \). Точки \( A, B, C \) лежат на окружности. Треугольник \( ABC \) вписан в окружность.

Угол \( ∠A \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( BC \).

Угол \( ∠C \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( AB \).

По условию задачи известно, что \( ∠A = 45^ \).

Диаметр окружности проходит через точки \( A \) и \( C \), так как он проходит через центр \( O \) и является стороной треугольника \( ABC \) (точка \( B \) лежит на окружности, но не на диаметре).

Угол \( ∠ABC \) является вписанным углом, опирающимся на диаметр \( AC \). Следовательно, \( ∠ABC = 90^ \) (угол, опирающийся на диаметр, прямой).

Сумма углов в треугольнике \( ABC \) равна \( 180^ \):

\[ ∠A + ∠B + ∠C = 180^ \]\[ 45^ + 90^ + ∠C = 180^ \]\[ 135^ + ∠C = 180^ \]\[ ∠C = 180^ - 135^ \]\[ ∠C = 45^ \]

Ответ: ∠C = 45^.