6) \(9\frac{1}{4}-8\frac{2}{3}\)\(\cdot\) 1\(\frac{5}{7}\)+\(4\frac{2}{9}-2\frac{5}{6}\):1\(\frac{1}{9}\)

Решение:

1. Приведём смешанные числа к неправильным дробям:
   \( 9\frac{1}{4} = \frac{9 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{37}{4} \)
   \( 8\frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3} \)
   \( 1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7} \)
   \( 4\frac{2}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{38}{9} \)
   \( 2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6} \)
   \( 1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9} \)
2. Вычислим значение в первой скобке:
   \( \frac{37}{4} - \frac{26}{3} = \frac{37 \cdot 3 - 26 \cdot 4}{12} = \frac{111 - 104}{12} = \frac{7}{12} \)
3. Выполним умножение:
   \( \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} = 1 \)
4. Вычислим значение во второй скобке:
   \( \frac{38}{9} - \frac{17}{6} = \frac{38 \cdot 2 - 17 \cdot 3}{18} = \frac{76 - 51}{18} = \frac{25}{18} \)
5. Выполним деление:
   \( \frac{25}{18} : \frac{10}{9} = \frac{25}{18} \cdot \frac{9}{10} = \frac{25 \cdot 9}{18 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} \)
6. Сложим результаты:
   \( 1 + \frac{5}{4} = \frac{4}{4} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} \)
7. Переведём неправильную дробь в смешанное число:
   \( \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} \)

Ответ: \( 2\frac{1}{4} \).