6.80 Отметьте на координатной плоскости точки A(0; 4), В(8; 0), L(-2; 0), K(-4; −1). Проведите прямые AB и LK и найдите координаты точки пересечения. На какой из этих прямых лежит точка С(0; 1)?

Решение:

1. Построение точек: Отметим точки A(0; 4), B(8; 0), L(-2; 0), K(-4; -1) на координатной плоскости.

2. Проведение прямых:

• Прямая AB проходит через точки A(0; 4) и B(8; 0).
• Прямая LK проходит через точки L(-2; 0) и K(-4; -1).

3. Нахождение точки пересечения прямых AB и LK:

• Уравнение прямой AB:

Так как точки A и B имеют разные x-координаты, но точка A лежит на оси y, а точка B на оси x, это прямая с отрицательным наклоном. Уравнение прямой имеет вид \( y = mx + b \).

Из точки A(0; 4) следует, что \( b = 4 \).

Подставляем точку B(8; 0): \( 0 = m \cdot 8 + 4 \) \( \Rightarrow 8m = -4 \) \( \Rightarrow m = -0.5 \).

Уравнение прямой AB: \( y = -0.5x + 4 \).

• Уравнение прямой LK:

Наклон \( m = \frac{-1 - 0}{-4 - (-2)} = \frac{-1}{-2} = 0.5 \).

Используем точку L(-2; 0): \( 0 = 0.5 \cdot (-2) + b \) \( \Rightarrow 0 = -1 + b \) \( \Rightarrow b = 1 \).

Уравнение прямой LK: \( y = 0.5x + 1 \).

• Найдем точку пересечения, приравняв уравнения:

\( -0.5x + 4 = 0.5x + 1 \)

\( 4 - 1 = 0.5x + 0.5x \)

\( 3 = x \).

Подставим \( x = 3 \) в любое из уравнений, например, в \( y = 0.5x + 1 \):

\( y = 0.5 \cdot 3 + 1 = 1.5 + 1 = 2.5 \).

Точка пересечения прямых AB и LK имеет координаты (3; 2.5).

4. Проверка положения точки C(0; 1):

Подставим координаты точки C(0; 1) в уравнения прямых:

• Прямая AB: \( y = -0.5x + 4 \). Подставляем C(0; 1): \( 1 = -0.5 \cdot 0 + 4 \) \( \Rightarrow 1 = 4 \). Это неверно.
• Прямая LK: \( y = 0.5x + 1 \). Подставляем C(0; 1): \( 1 = 0.5 \cdot 0 + 1 \) \( \Rightarrow 1 = 1 \). Это верно.

Значит, точка C(0; 1) лежит на прямой LK.

Ответ: Координаты точки пересечения прямых AB и LK: (3; 2.5). Точка C(0; 1) лежит на прямой LK.