6.5. Вычислите значения синуса, косинуса, тангенса и котан-генса угла, используя имеющуюся информацию.

Question

6.5. Вычислите значения синуса, косинуса, тангенса и котан-генса угла, используя имеющуюся информацию.

Accepted Answer

Задание 6.5: Вычисление тригонометрических функций

Необходимо вычислить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для различных углов \( \alpha \) на основе предоставленных данных.

Вариант А

Дано: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \alpha > 0 \).

Так как \( \cos \alpha > 0 \), угол \( \alpha \) находится в I четверти.
\( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Дано: \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin \alpha < 0 \).

Так как \( \sin \alpha < 0 \), угол \( \alpha \) находится в III четверти.
\( \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\sqrt{1 - \frac{2}{4}} = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1 \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{1} = 1 \)

Дано: \( \sin \alpha = -\frac{1}{2}, -\pi < \alpha < 0 \).

Угол \( \alpha \) находится в III или IV четверти. Так как \( \sin \alpha < 0 \), угол \( \alpha \) находится в III или IV четверти. Условие \( -\pi < \alpha < 0 \) указывает, что угол находится во II или III четверти. Объединяя, получаем, что угол \( \alpha \) находится в III четверти.
\( \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \sqrt{3} \)

Дано: \( \cos \alpha = \frac{3}{5}, \sin \alpha > 0 \).

Так как \( \sin \alpha > 0 \), угол \( \alpha \) находится в I четверти.
\( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \)
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{3}{4} \)

Дано: \( \cos \alpha = -\frac{4}{5}, \sin \alpha < 0 \).

Так как \( \sin \alpha < 0 \), угол \( \alpha \) находится в III или IV четверти. Так как \( \cos \alpha < 0 \), угол \( \alpha \) находится во II или III четверти. Объединяя, получаем, что угол \( \alpha \) находится в III четверти.
\( \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \)
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{4}{3} \)

Дано: \( \sin \alpha = \frac{1}{3}, -3\pi < \alpha < -2\pi \).

Угол \( \alpha \) находится в III или IV четверти (так как \( \sin \alpha > 0 \)). Условие \( -3\pi < \alpha < -2\pi \) означает, что угол находится между \( -3\pi \) и \( -2\pi \), то есть в III и IV четвертях. Уточним, что \( -3\pi \) соответствует \( -180^{\circ} \) и \( -2\pi \) соответствует \( 0^{\circ} \) (с учетом отрицательного знака). В этом диапазоне \( \sin \alpha > 0 \) соответствует II и I четвертям. Область \( -3\pi < \alpha < -2\pi \) соответствует углам \( \alpha \) в диапазоне \( (2k-1)\pi, 2k\pi) \) для \( k=1 \). Таким образом, \( -3\pi < \alpha < -2\pi \) охватывает III и IV четверти. Поскольку \( \sin \alpha > 0 \), угол \( \alpha \) находится в II четверти (относительно \( -2\pi \)).
\( \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = -2\sqrt{2} \)

Дано: \( \sin \alpha = \frac{3}{5}, 4\pi < \alpha < 5\pi \).

Угол \( \alpha \) находится в I или II четверти (так как \( \sin \alpha > 0 \)). Диапазон \( 4\pi < \alpha < 5\pi \) соответствует I и II четвертям.
\( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \pm\frac{4}{5} \). Так как \( \alpha \) находится в I или II четверти, \( \cos \alpha \) может быть положительным или отрицательным. Для однозначности, если \( 4\pi < \alpha < \frac{9\pi}{2} \), то \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \). Если \( \frac{9\pi}{2} < \alpha < 5\pi \), то \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \).
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{\pm 4/5} = \pm \frac{3}{4} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \pm \frac{4}{3} \)

Дано: \( \sin \alpha = 1, 0 < \alpha < \frac{5\pi}{2} \).

\( \sin \alpha = 1 \) означает, что \( \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \). В данном диапазоне \( \alpha = \frac{\pi}{2} \).
\( \cos \alpha = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \)
\( \text{tg} \alpha \) не существует.
\( \text{ctg} \alpha = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0 \)

Дано: \( \sin \alpha = \frac{1}{5}, 4\pi < \alpha < 5\pi \).

Угол \( \alpha \) находится в I или II четверти (так как \( \sin \alpha > 0 \)). Диапазон \( 4\pi < \alpha < 5\pi \) соответствует I и II четвертям.
\( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm\sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} \).
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/5}{\pm 2\sqrt{6}/5} = \pm\frac{1}{2\sqrt{6}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{12} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \pm 2\sqrt{6} \)

Дано: \( \sin \alpha = -\frac{4}{5}, \cos \alpha > 0 \).

Так как \( \cos \alpha > 0 \), угол \( \alpha \) находится в I или IV четверти. Так как \( \sin \alpha < 0 \), угол \( \alpha \) находится в III или IV четверти. Объединяя, получаем, что угол \( \alpha \) находится в IV четверти.
\( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \)
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = -\frac{3}{4} \)

Дано: \( \text{ctg} \alpha = 3, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Угол \( \alpha \) находится в III четверти.
\( \text{tg} \alpha = \frac{1}{\text{ctg} \alpha} = \frac{1}{3} \)
\( \sin \alpha = -\frac{\text{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = -\frac{1/3}{\sqrt{1 + (1/3)^2}} = -\frac{1/3}{\sqrt{1 + 1/9}} = -\frac{1/3}{\sqrt{10/9}} = -\frac{1/3}{\sqrt{10}/3} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} \)
\( \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + (1/3)^2}} = -\frac{1}{\sqrt{10/9}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \)

Дано: \( \text{tg} \alpha = -\frac{1}{2}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Угол \( \alpha \) находится в III четверти.
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = -2 \)
\( \sin \alpha = -\frac{\text{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = -\frac{-1/2}{\sqrt{1 + (-1/2)^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{1 + 1/4}} = \frac{1/2}{\sqrt{5/4}} = \frac{1/2}{\sqrt{5}/2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)
\( \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + (-1/2)^2}} = -\frac{1}{\sqrt{5/4}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \)

Дано: \( \cos \alpha > 0, \text{ctg} \alpha = -1 \).

\( \text{ctg} \alpha = -1 \) означает, что \( \alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi k \).
Так как \( \cos \alpha > 0 \), угол \( \alpha \) находится в I или IV четверти.
Если \( k=0 \), \( \alpha = \frac{3\pi}{4} \) (II четверть), \( \cos \alpha < 0 \).
Если \( k=1 \), \( \alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4} \) (IV четверть), \( \cos \alpha > 0 \).
\( \alpha = \frac{7\pi}{4} \).
\( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \text{tg} \alpha = -1 \)

Дано: \( \text{tg} \alpha = 2, 90^{\circ} < \alpha < 270^{\circ} \).

\( \text{tg} \alpha = 2 > 0 \). Угол \( \alpha \) находится в I или III четверти.
Условие \( 90^{\circ} < \alpha < 270^{\circ} \) означает, что угол \( \alpha \) находится во II или III четверти.
Объединяя, получаем, что угол \( \alpha \) находится в III четверти.
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{2} \)
\( \sin \alpha = -\frac{\text{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = -\frac{2}{\sqrt{1 + 2^2}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \)
\( \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + 2^2}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \)

Вариант Б

Дано: \( \sin \alpha = \frac{1}{2}, \cos \alpha > 0 \).

Угол \( \alpha \) находится в I четверти.
\( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \text{ctg} \alpha = \sqrt{3} \)

Дано: \( \sin \alpha = \frac{1}{3}, \sin \alpha \cos \alpha > 0 \).

Так как \( \sin \alpha > 0 \), то \( \cos \alpha > 0 \). Угол \( \alpha \) находится в I четверти.
\( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \)
\( \text{ctg} \alpha = 2\sqrt{2} \)

Дано: \( \sin \alpha = -\frac{2}{3} \).

\( \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - (-\frac{2}{3})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \).
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-2/3}{\pm \sqrt{5}/3} = \mp \frac{2}{\sqrt{5}} = \mp \frac{2\sqrt{5}}{5} \).
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \mp \frac{\sqrt{5}}{2} \).

Дано: \( \cos \alpha = 0, -5, 6\pi < \alpha < -4,8\pi \).

\( \cos \alpha = 0 \) означает, что \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k \).
Диапазон \( 6\pi < \alpha < -4,8\pi \) некорректен, так как \( 6\pi > -4,8\pi \). Предположим, имелось в виду \( -6\pi < \alpha < -4,8\pi \).
В этом случае \( \alpha = -5\pi/2 \) или \( \alpha = -7\pi/2 \).
Если \( \alpha = -5\pi/2 = -2,5\pi \), то \( \cos \alpha = 0 \).
Если \( \alpha = -7\pi/2 = -3,5\pi \), то \( \cos \alpha = 0 \).
Для \( \alpha = -2,5\pi \) (который находится между \( -3\pi \) и \( -2\pi \)), \( \sin \alpha = \sin(-2,5\pi) = \sin(-\pi/2) = -1 \).
Для \( \alpha = -3,5\pi \) (который находится между \( -4\pi \) и \( -3\pi \)), \( \sin \alpha = \sin(-3,5\pi) = \sin(-\pi/2) = -1 \).
\( \text{tg} \alpha \) не существует.
\( \text{ctg} \alpha = 0 \).

Дано: \( \cos \alpha = \frac{1}{2}, \sin \alpha > \frac{1}{2} \).

\( \cos \alpha = \frac{1}{2} \) означает, что \( \alpha = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \).
\( \sin \alpha > \frac{1}{2} \) означает, что \( \frac{\pi}{6} + 2\pi n < \alpha < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \).
Нет пересечения условий, так как при \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \) имеем \( \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \). \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) > \( \frac{1}{2} \), но \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) < \( \frac{1}{2} \).
Таким образом, если \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \) и \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (угол в I четверти, \( \alpha = \frac{\pi}{3} \)), то \( \sin \alpha > \frac{1}{2} \) выполняется.
\( \alpha = \frac{\pi}{3} \).
\( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \text{tg} \alpha = \sqrt{3} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Дано: \( \cos \alpha = 1, |\alpha| < \frac{5\pi}{2} \).

\( \cos \alpha = 1 \) означает, что \( \alpha = 2\pi k \).
В диапазоне \( |\alpha| < \frac{5\pi}{2} \) \( \alpha = 0, 2\pi, -2\pi \).
При \( \alpha = 0 \): \( \sin \alpha = 0, \text{tg} \alpha = 0, \text{ctg} \alpha \) не существует.
При \( \alpha = 2\pi \): \( \sin \alpha = 0, \text{tg} \alpha = 0, \text{ctg} \alpha \) не существует.
При \( \alpha = -2\pi \): \( \sin \alpha = 0, \text{tg} \alpha = 0, \text{ctg} \alpha \) не существует.

Дано: \( \cos \alpha = -\frac{2}{3}, \frac{1}{\sin \alpha} < 1 \).

\( \cos \alpha = -\frac{2}{3} < 0 \). Угол \( \alpha \) находится во II или III четверти.
\( \frac{1}{\sin \alpha} < 1 \) означает, что \( \sin \alpha < 0 \) (так как \( \sin \alpha \) не может быть равно 0, а \( \sin \alpha = 1 \) в этом случае невозможно).
Следовательно, угол \( \alpha \) находится в III четверти.
\( \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{2}{3})^2} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \).
\( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sqrt{5}/3}{-2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)
\( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

Дано: \( \text{ctg} \alpha = -\frac{1}{7} \).

\( \text{tg} \alpha = \frac{1}{\text{ctg} \alpha} = -7 \).
\( \sin \alpha = \pm \frac{\text{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = \pm \frac{-7}{\sqrt{1 + (-7)^2}} = \pm \frac{-7}{\sqrt{50}} = \mp \frac{7}{5\sqrt{2}} = \mp \frac{7\sqrt{2}}{10} \).
\( \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + (-7)^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{50}} = \pm \frac{1}{5\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{10} \).

6.5. Вычислите значения синуса, косинуса, тангенса и котан-генса угла, используя имеющуюся информацию.

Ответ:

Задание 6.5: Вычисление тригонометрических функций

Вариант А

Вариант Б