6.34. Решите неравенства: а) $2^{x+2}+2^x>20$; б) $3^{x+2}-3^x<24$; в) $4^{x+1}+4^x>1{,}25$; г) $3^{2x+1}-9^x<\frac{2}{3}$; д) $4^x-4^{x-1}<3$; е) $5^x-5^{x-2}<24$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6.34. Решите неравенства: а) $2^{x+2}+2^x>20$; б) $3^{x+2}-3^x<24$; в) $4^{x+1}+4^x>1{,}25$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Вынесем $2^x$ за скобки: $2^x(2^2+1)>20$, то есть $5\cdot2^x>20$. Тогда $2^x>4=2^2$, откуда $x>2$.
б) Вынесем $3^x$ за скобки: $3^x(3^2-1)<24$, то есть $8\cdot3^x<24$. Тогда $3^x<3$, откуда $x<1$.
в) Вынесем $4^x$ за скобки: $4^x(4+1)>1{,}25$. Значит, $5\cdot4^x>\frac{5}{4}$, поэтому $4^x>\frac{1}{4}=4^{-1}$, откуда $x>-1$.
г) Так как $3^{2x+1}=3\cdot9^x$, получаем $3\cdot9^x-9^x<\frac{2}{3}$, то есть $2\cdot9^x<\frac{2}{3}$. Следовательно, $9^x<\frac{1}{3}=9^{-1/2}$. Поскольку основание больше 1, $x<-\frac{1}{2}$.
д) Вынесем $4^x$ за скобки: $4^x(1-4^{-1})<3$, то есть $\frac{3}{4}4^x<3$. Тогда $4^x<4=4^1$, откуда $x<1$.
е) Вынесем $5^x$ за скобки: $5^x(1-5^{-2})<24$, то есть $\frac{24}{25}5^x<24$. Тогда $5^x<25=5^2$, откуда $x<2$.

Ответ: а) $x>2$; б) $x<1$; в) $x>-1$; г) $x<-\frac{1}{2}$; д) $x<1$; е) $x<2$.

6.34. Решите неравенства: а) \(2^{x+2}+2^x>20\); б) \(3^{x+2}-3^x<24\); в) \(4^{x+1}+4^x>1{,}25\); г) \(3^{2x+1}-9^x<\frac{2}{3}\); д) \(4^x-4^{x-1}<3\); е) \(5^x-5^{x-2}<24\).