6. (3 балла) В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К. Через точку К проведён отрезок NM, параллельный стороне АС (N ∈ AB, M ∈ BC). Найдите отрезок NM, если AN = 6 см, MC = 5 см.

Решение:

Так как \( AK \) — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle NAK = \angle KAC \).

Так как \( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \), то \( \angle NBK = \angle KBC \).

По условию, \( NM ‖ AC \).

Рассмотрим углы при параллельных прямых \( NM \) и \( AC \) и секущих \( AB \) и \( BC \).

\( \angle ANK = \angle NAK \) (как накрест лежащие углы при \( NM ‖ AC \) и секущей \( AK \)).

Следовательно, \( \angle ANK = \angle KAC \).

Из равенства \( \angle NAK = \angle KAC \) и \( \angle ANK = \angle KAC \) следует, что \( \angle NAK = \angle ANK \). Это означает, что треугольник \( ANK \) — равнобедренный с основанием \( NK \). Следовательно, \( AN = NK \).

По условию, \( AN = 6 \) см. Значит, \( NK = 6 \) см.

Аналогично, рассмотрим параллельные прямые \( NM \) и \( AC \) и секущую \( BC \).

\( \angle CMK = \angle KCB \) (как накрест лежащие углы при \( NM ‖ AC \) и секущей \( CK \)).

Так как \( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \), то \( \angle KBC = \angle KCA \). Но \( K \) не лежит на \( BC \).

\( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \), то \( \angle KBC = \angle KBA \). \( AK \) — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle KAC = \angle KAB \).

\( \angle NKC = \angle KCA \) (как накрест лежащие углы при \( NM ‖ AC \) и секущей \( CK \)).

Из того, что \( CK \) — продолжение биссектрисы \( BK \) (биссектрисы углов \( A \) и \( B \) пересекаются в точке \( K \), значит \( CK \) — тоже биссектриса \( \angle ACB \) — это неверно, \( K \) — точка пересечения биссектрис \( \angle A \) и \( \angle B \)).

\( AK \) — биссектриса \( \angle A \), \( BK \) — биссектриса \( \angle B \).

\( \angle NAK = \angle KAC \).

\( NM ‖ AC \).

\( \angle ANK = \angle KAC \) (накрест лежащие).

Значит, \( \angle NAK = \angle ANK \). Треугольник \( ANK \) равнобедренный, \( AN = NK \). \( NK = 6 \) см.

\( \angle MBK = \angle KBC \).

\( NM ‖ AC \).

\( \angle NMB = \angle KBC \) (накрест лежащие).

Значит, \( \angle MBK = \angle NMB \). Треугольник \( NMB \) равнобедренный с основанием \( NB \)? Нет.

Треугольник \( MBK \) равнобедренный? \( \angle KBM = \angle KBC \). \( MK ‖ AC \). \( BK \) — секущая.

\( \angle MBK = \angle KBC \).

\( NM ‖ AC \). \( BK \) — секущая.

\( \angle NKB \) = \( \angle KBC \) (накрест лежащие).

Значит, \( \angle MBK = \angle NKB \). Треугольник \( NKB \) равнобедренный с основанием \( NK \). \( NK = NB \).

\( NK = 6 \) см.

Значит, \( NB = 6 \) см.

Теперь рассмотрим \( MC \).

\( MK ‖ AC \). \( CK \) — секущая.

\( \angle MKC = \angle KCA \) (накрест лежащие).

\( AK \) — биссектриса \( \angle BAC \), \( \angle KAC = \angle KAB \).

\( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \), \( \angle KBC = \angle KBA \).

\( NM ‖ AC \).

\( \angle KMC = \angle KCA \) (накрест лежащие).

\( \angle AKC + \angle KCA \) ?

В \( \triangle KMC \): \( \angle KMC \) = \( \angle KCA \). \( MC = 5 \) см.

\( AK \) — биссектриса \( \angle BAC \).

\( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \).

\( K \) — центр вписанной окружности.

\( NM ‖ AC \). \( N \) на \( AB \), \( M \) на \( BC \).

\( \angle NAK = \angle KAC \). \( \angle ANK = \angle KAC \) (накрест лежащие).

\( \angle NAK = \angle ANK \). \( \triangle ANK \) равнобедренный. \( AN = NK \). \( NK = 6 \) см.

\( \angle MBK = \angle KBC \). \( \angle NKB = \angle KBC \) (накрест лежащие).

\( \angle MBK = \angle NKB \). \( \triangle NKB \) равнобедренный. \( NK = NB \). \( NB = 6 \) см.

\( \angle KMC = \angle KCA \) (накрест лежащие).

\( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \), \( \angle KBC = \angle KBA \).

\( AK \) — биссектриса \( \angle BAC \), \( \angle KAC = \angle KAB \).

\( K \) — точка пересечения биссектрис. \( CK \) — биссектриса \( \angle ACB \).

\( \angle KCM = \angle KCB \).

\( NM ‖ AC \).

\( \angle CMK = \angle KCA \) (накрест лежащие).

\( \angle KMC = \angle KCA \).

\( MC = 5 \) см.

\( \triangle KMC \). \( \angle KCM = \angle KCA \).

\( MK ‖ AC \).

\( \angle MKC = \angle KCA \) (накрест лежащие).

\( \angle KMC = \angle KCA \) и \( \angle MKC = \angle KCA \).

Значит \( \angle KMC = \angle MKC \). Треугольник \( KMC \) равнобедренный. \( MC = MK \). \( MK = 5 \) см.

Мы нашли \( NK = 6 \) см и \( MK = 5 \) см.

Отрезок \( NM = NK + MK \).

\( NM = 6 \text{ см} + 5 \text{ см} = 11 \text{ см} \).

Ответ: 11 см.