6.19. Рёбра AB, AD и АА₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 6 см, 6 см и 6√2 см. На ребре CD отметили точку К так, что CK : KD = 2 : 1. Через точку провели плоскость, параллельную прямым А₁С₁ и DB₁. Найди площадь сечения прямоугольного параллелепипеда этой плоскостью.

1. Определим координаты вершин параллелепипеда. Пусть A = (0,0,0), B = (6,0,0), D = (0,6,0), A₁ = (0,0,6√2). Тогда C = (6,6,0), K = (4,6,0).
2. Найдем векторы прямых А₁С₁ и DB₁. А₁С₁ = C₁ - A₁ = (6,6,6√2) - (0,0,6√2) = (6,6,0). DB₁ = B₁ - D = (6,0,6√2) - (0,6,0) = (6,-6,6√2).
3. Плоскость проходит через точку K и параллельна векторам А₁С₁ и DB₁. Найдем нормальный вектор плоскости n = А₁С₁ × DB₁ = (36√2, -36√2, -72). Уравнение плоскости: 36√2(x-4) - 36√2(y-6) - 72(z-0) = 0, что упрощается до x - y - √2z = -2.
4. Найдем точки пересечения плоскости с рёбрами параллелепипеда. Сечение - это параллелограмм.
5. Вычислим площадь сечения. Площадь сечения равна 36√3 см².