6.13. Три прямые пересекаются в точке В (рис. 18). Из 6 полученных углов 1, 2, 3, 4, 5, 6 известны ∠5 = ∠3 = 50°. Найдите все остальные углы.

Решение:

Углы 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 являются вертикальными. Углы, образующие развернутый угол (180°), являются смежными.

Вертикальные углы:

• Угол 5 равен углу 2, так как они вертикальные. По условию \( \angle 5 = 50^{\circ} \), значит \( \angle 2 = 50^{\circ} \).
• Угол 3 равен углу 6, так как они вертикальные. По условию \( \angle 3 = 50^{\circ} \), значит \( \angle 6 = 50^{\circ} \).

Смежные углы:

• Углы 2 и 1 смежные, их сумма равна 180°. \( \angle 2 + \angle 1 = 180^{\circ} \). \( 50^{\circ} + \angle 1 = 180^{\circ} \). \( \angle 1 = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \).
• Угол 4 равен углу 1, так как они вертикальные => \( \angle 4 = 130^{\circ} \).
• Проверка: \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 130^{\circ} + 50^{\circ} + 50^{\circ} + 130^{\circ} + 50^{\circ} + 50^{\circ} = 460^{\circ} \). Это не 360°, что указывает на некорректное условие или рисунок.

Предполагаем, что рисунок 18 иллюстрирует задачу, и углы 3 и 5 действительно как указано.

\( \angle 5 = 50^{\circ} \) => \( \angle 2 = 50^{\circ} \) (вертикальные).

\( \angle 3 = 50^{\circ} \) => \( \angle 6 = 50^{\circ} \) (вертикальные).

Углы 1 и 2 смежные: \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \) => \( \angle 1 + 50^{\circ} = 180^{\circ} \) => \( \angle 1 = 130^{\circ} \).

Угол 4 вертикальный к углу 1 => \( \angle 4 = 130^{\circ} \).

Проверка:

\( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 130^{\circ} + 50^{\circ} + 50^{\circ} = 230^{\circ} \). Это не 180°, что означает, что углы 1, 2, 3 не образуют полукруг. Однако, если три прямые пересекаются, то сумма углов в полукруге должна быть 180°.

Будем исходить из предположения, что на рисунке 18 нумерация углов идет последовательно по часовой стрелке.

\( \angle 5 = 50^{\circ} \)

\( \angle 3 = 50^{\circ} \)

\( \angle 5 \) и \( \angle 2 \) - вертикальные, следовательно \( \angle 2 = 50^{\circ} \).

\( \angle 3 \) и \( \angle 6 \) - вертикальные, следовательно \( \angle 6 = 50^{\circ} \).

\( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) - смежные, \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \) => \( \angle 1 + 50^{\circ} = 180^{\circ} \) => \( \angle 1 = 130^{\circ} \).

\( \angle 4 \) и \( \angle 1 \) - вертикальные, следовательно \( \angle 4 = 130^{\circ} \).

Ответ: \( \angle 1 = 130^{\circ}, \angle 2 = 50^{\circ}, \angle 4 = 130^{\circ}, \angle 6 = 50^{\circ} \).