6.11. б) Углы АОВ и ВОС — смежные, причем угол ВОС составляет четвертую часть угла АОВ. Найдите градусную меру угла, который вместе с углом ВОС образует пару вертикальных углов.

Решение:

Условие задачи:

• Углы АОВ и ВОС — смежные.
• \( ∠ BOC = \frac{1}{4} ∠ AOB \)
• Найти градусную меру угла, который вместе с углом ВОС образует пару вертикальных углов.

1. Найдём величину смежных углов:

Так как углы АОВ и ВОС смежные, их сумма равна 180°:

\( ∠ AOB + ∠ BOC = 180^{\circ} \)

Пусть \( ∠ BOC = x \). Тогда \( ∠ AOB = 4x \), согласно условию.

Подставим в уравнение:

\( 4x + x = 180^{\circ} \)

\( 5x = 180^{\circ} \)

\( x = \frac{180^{\circ}}{5} \)

\( x = 36^{\circ} \)

Значит, \( ∠ BOC = 36^{\circ} \).

\( ∠ AOB = 4 · 36^{\circ} = 144^{\circ} \).

2. Определим искомую величину:

Вертикальные углы равны. Угол, который вместе с углом ВОС образует пару вертикальных углов, будет равен самому углу ВОС.

\( ∠ BOC = 36^{\circ} \)

Угол, вертикальный с углом ВОС, также равен 36°.

Ответ: 36°.