5 Тип 17 і Найдите значение выражения 21/1-2√6+6.

Решение

Чтобы найти значение выражения $$2\sqrt{1-2\sqrt{6}+6}$$, сначала упростим подкоренное выражение $$1-2\sqrt{6}+6$$.

Сложим числа: $$1+6=7$$. Получим $$7-2\sqrt{6}$$.

Теперь нам нужно найти значение $$2\sqrt{7-2\sqrt{6}}$$.

Попробуем представить $$7-2\sqrt{6}$$ в виде квадрата разности $$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$.

Для этого нам нужно найти два числа $$a$$ и $$b$$ таких, что $$a^2+b^2=7$$ и $$ab=\sqrt{6}$$.

Рассмотрим возможные пары чисел, произведение которых равно $$\sqrt{6}$$: $$(\sqrt{6}, 1)$$ или $$(3, \sqrt{2})$$ или $$(\sqrt{3}, \sqrt{2})$$.

Проверим первую пару: $$(\sqrt{6}, 1)$$.

$$a^2+b^2 = (\sqrt{6})^2 + 1^2 = 6+1=7$$.

Это совпадает с нашим условием. Значит, $$7-2\sqrt{6} = (\sqrt{6}-1)^2$$.

Теперь вернемся к нашему выражению:

$$2\sqrt{7-2\sqrt{6}} = 2\sqrt{(\sqrt{6}-1)^2}$$.

Поскольку $$\sqrt{x^2}=|x|$$, имеем: $$2|\sqrt{6}-1|$$.

Так как $$\sqrt{6}$$ больше $$1$$ (так как $$6>1$$), то $$\sqrt{6}-1$$ является положительным числом.

Следовательно, $$|\sqrt{6}-1| = \sqrt{6}-1$$.

Окончательно получаем: $$2(\sqrt{6}-1) = 2\sqrt{6}-2$$.

Ответ: $$2\sqrt{6}-2$$.