5 Тип 17 і Найдите значение выражения 2√1-2√6+6.

Решение

Для начала, преобразуем выражение под корнем:

\( 1 - 2\sqrt{6} + 6 = 7 - 2\sqrt{6} \)

Теперь рассмотрим выражение \( \sqrt{7 - 2\sqrt{6}} \). Нам нужно найти такие числа \( a \) и \( b \), чтобы \( (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} \).

Сравнивая \( 7 - 2\sqrt{6} \) с \( a + b - 2\sqrt{ab} \), получаем:

• \( a + b = 7 \)
• \( ab = 6 \)

Легко подобрать числа: \( a = 6 \) и \( b = 1 \) (или наоборот).

Таким образом, \( \sqrt{7 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{1})^2} = |\sqrt{6} - 1| \).

Так как \( \sqrt{6} > 1 \), то \( |\sqrt{6} - 1| = \sqrt{6} - 1 \).

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

\( 2(\sqrt{6} - 1) \)

\( = 2\sqrt{6} - 2 \)

Ответ: $$2\sqrt{6} - 2$$