593 Найдите: а) sin a и tg a, если cos a = 2/3; б) sin a и tg a, если cos a = 2/3; в) cos a и tg a, если sin a = √3/2; г) cos a и tg a, если sin a = 1/4.

Решение задачи 593

Для решения будем использовать основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и определение тангенса \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

а) sin a и tg a, если cos a = 2/3

Из \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \)

\( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \)

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \)

б) sin a и tg a, если cos a = 2/3

Это условие повторяет пункт а. Предположим, что в пункте б) имелось в виду другое значение косинуса или другое тригонометрическое соотношение. Если это опечатка и условие такое же, то решение совпадает с пунктом а).

в) cos a и tg a, если sin a = √3/2

Из \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \)

\( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2} \)

Если \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \): \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \)

Если \( \cos \alpha = -\frac{1}{2} \): \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \)

г) cos a и tg a, если sin a = 1/4

Из \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \)

\( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \)

Если \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \): \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15} \)

Если \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4} \): \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15} \)