591 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольник ABC с прямым углом С, если: а) BC = 8, AB=17; б) BC=2, AC = 20; в) BC = 1, AC = 2; г) AC = 24, AB = 25.

Решение:

Для решения задачи нужно знать теорему Пифагора \( c^2 = a^2 + b^2 \) и определения тригонометрических функций: \( \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \), \( \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \), \( \text{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \).

а) BC = 8, AB = 17

1. Найдем AC по теореме Пифагора: \( AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \)
2. Для угла A: \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \), \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \), \( \text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \)
3. Для угла B: \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \), \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \), \( \text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8} \)

б) BC = 2, AC = 20

1. Найдем AB по теореме Пифагора: \( AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 20^2} = \sqrt{4 + 400} = \sqrt{404} = 2\sqrt{101} \)
2. Для угла A: \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{101}} = \frac{1}{\sqrt{101}} = \frac{\sqrt{101}}{101} \), \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{2\sqrt{101}} = \frac{10}{\sqrt{101}} = \frac{10\sqrt{101}}{101} \), \( \text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \)
3. Для угла B: \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{2\sqrt{101}} = \frac{10}{\sqrt{101}} = \frac{10\sqrt{101}}{101} \), \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{101}} = \frac{1}{\sqrt{101}} = \frac{\sqrt{101}}{101} \), \( \text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{2} = 10 \)

в) BC = 1, AC = 2

1. Найдем AB по теореме Пифагора: \( AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
2. Для угла A: \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \), \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \), \( \text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} \)
3. Для угла B: \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \), \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \), \( \text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2 \)

г) AC = 24, AB = 25

1. Найдем BC по теореме Пифагора: \( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7 \)
2. Для угла A: \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} \), \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} \), \( \text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} \)
3. Для угла B: \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} \), \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} \), \( \text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7} \)

Ответ: Приведены значения синуса, косинуса и тангенса для углов А и В для каждого подпункта.