58) ((x v y) → (x ^ y)) v ((x̄ ^ y) ^ (x v y))

Решение:

Преобразуем данное логическое выражение:

\( ((x \lor y) \rightarrow (x \land y)) \lor ((\bar{x} \land y) \land (x \lor y)) \)

Используем эквивалентность \( A \rightarrow B \equiv \neg A \lor B \):

\( (\neg (x \lor y) \lor (x \land y)) \lor ((\bar{x} \land y) \land (x \lor y)) \)

Используем закон Де Моргана \( \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \):

\( ((\bar{x} \land \bar{y}) \lor (x \land y)) \lor ((\bar{x} \land y) \land (x \lor y)) \)

Рассмотрим вторую часть дизъюнкции: \( ((\bar{x} \land y) \land (x \lor y)) \)

Применим распределительный закон \( A \land (B \lor C) \equiv (A \land B) \lor (A \land C) \):

\( (( \bar{x} \land y) \land x) \lor (( \bar{x} \land y) \land y) \)

Используем коммутативность и ассоциативность:

\( ((\bar{x} \land x) \land y) \lor ( \bar{x} \land (y \land y)) \)

Так как \( \bar{x} \land x \equiv 0 \) (контрадикция), то первая часть равна 0. \( y \land y \equiv y \):

\( (0 \land y) \lor (\bar{x} \land y) \)

\( 0 \lor (\bar{x} \land y) \equiv \bar{x} \land y \)

Теперь подставим обратно в исходное выражение:

\( ((\bar{x} \land \bar{y}) \lor (x \land y)) \lor (\bar{x} \land y) \)

Применим ассоциативный закон:

\( (\bar{x} \land \bar{y}) \lor ((x \land y) \lor (\bar{x} \land y)) \)

Вынесем \( y \) за скобки во второй части:

\( (\bar{x} \land \bar{y}) \lor ((x \lor \bar{x}) \land y) \)

Так как \( x \lor \bar{x} \equiv 1 \) (тавтология):

\( (\bar{x} \land \bar{y}) \lor (1 \land y) \)

\( (\bar{x} \land \bar{y}) \lor y \)

Используем закон поглощения \( A \lor (\neg A \land B) \equiv A \lor B \) или \( B \lor (A \land B) \equiv B \). Применим закон дистрибутивности \( (A \lor B) \land (C \lor B) \equiv (A \land C) \lor B \). Здесь \( y \) поглощает \( \bar{x} \land y \).

\( y \lor (\bar{x} \land \bar{y}) \)

Применим закон \( A \lor (\neg A \land B) \equiv A \lor B \). Пусть \( A = y \), \( B = \bar{x} \land \bar{y} \). Мы имеем \( y \lor (\bar{x} \land \bar{y}) \). Это не совсем тот вид. Рассмотрим \( (\bar{x} \land \bar{y}) \lor y \). Применим закон дистрибутивности \( (A \lor B) \land (C \lor B) \equiv (A \land C) \lor B \). В нашем случае \( B = y \). Тогда \( (\bar{x} \land \bar{y}) \lor y \) можно представить как \( ((\bar{x}) \land (\bar{y})) \lor y \). Чтобы применить закон \( A \lor B = B \lor A \), имеем \( y \lor (\bar{x} \land \bar{y}) \).

Применим закон \( A \lor (\neg A \land B) \equiv A \lor B \) . Если \( A = y \) и \( \neg A = \bar{y} \), то \( y \lor (\bar{x} \land \bar{y}) \) не подходит.

Вернемся к \( (\bar{x} \land \bar{y}) \lor y \).

Рассмотрим форму \( Y \lor (X \land Y) \equiv Y \). Здесь \( Y = y \). \( (\bar{x} \land \bar{y}) \lor y \). Применим закон дистрибутивности \( A \lor (B \land C) \equiv (A \lor B) \land (A \lor C) \).

\( (y \lor \bar{x}) \land (y \lor \bar{y}) \)

Так как \( y \lor \bar{y} \equiv 1 \):

\( (y \lor \bar{x}) \land 1 \)

\( y \lor \bar{x} \)

Это эквивалентно \( \bar{x} \lor y \).

Ответ: \( \bar{x} \lor y \).