55. На рисунке 314 изображён план городского сквера. В центре находится бассейн. В точках А и Б — вход и выход из сквера. Отрезки прямых — дорожки. Сколькими способами можно пройти из А в Б, если двигаться можно лишь вверх или вправо (можно идти по границе сквера и кромке бассейна)?

Решение:

Данная задача является классической задачей на подсчёт количества путей в сетке. Мы будем использовать принцип суммирования, двигаясь от начальной точки \( А \) к конечной точке \( Б \).

Шаг 1: Анализ сетки и ограничений.

Движение возможно только вверх или вправо. Это означает, что мы не можем двигаться назад или вниз.

Шаг 2: Присвоение значений узлам сетки.

Начнем с точки \( А \). В точке \( А \) есть 1 способ попасть в неё (мы уже там).

Будем присваивать число способов попасть в каждый узел сетки. Количество способов попасть в любой узел равно сумме способов попасть в узлы, из которых можно достичь данный узел (т.е. узел сверху и узел слева).

Шаг 3: Пошаговое заполнение сетки (снизу вверх, слева направо).

Начнем с точки А. Она имеет значение 1.

Следующие точки, до которых можно добраться только в одном направлении (вверх или вправо) от А, также будут иметь значение 1.

Когда мы достигаем пересечения, где есть пути и сверху, и слева, мы суммируем значения этих путей.

Пронумеруем узлы и подсчитаем пути:

Точка А: 1 способ.

Продвигаясь вправо от А, каждая точка имеет 1 способ, пока не встретим препятствие или не начнем суммировать.

Продвигаясь вверх от А, каждая точка имеет 1 способ, пока не встретим препятствие или не начнем суммировать.

Рассмотрим сетку:

Начнем с точки А (нижний левый угол). Мы можем двигаться только вправо или вверх.

Сегмент 1: Прямая линия от А вдоль нижней границы.

Каждая точка на этой линии имеет 1 способ попасть туда, двигаясь только вправо.

Сегмент 2: Прямая линия от А вдоль левой границы.

Каждая точка на этой линии имеет 1 способ попасть туда, двигаясь только вверх.

Шаг 4: Расчёт для внутренних узлов.

В любом внутреннем узле сетки (не на границах \( А \) или \( Б \) и не на внешних границах), количество путей равно сумме путей из узла слева и узла снизу (или узла сверху, в зависимости от ориентации сетки).

Визуализация сетки и подсчёт:

Представим сетку как матрицу:

• Начнем с \( А \): 1
• Первый шаг вправо: 1
• Второй шаг вправо: 1
• Третий шаг вправо: 1
• Четвертый шаг вправо: 1
• Пятый шаг вправо: 1
• Шестой шаг вправо: 1
• Первый шаг вверх: 1
• Второй шаг вверх: 1
• ...и так далее, пока не достигнем точки \( Б \).

Точное решение с подсчётом:

Начнём с \( А \) (координаты (0,0)).

\( A = 1 \)

Двигаемся вправо:

(1,0) = 1

(2,0) = 1

(3,0) = 1

(4,0) = 1

(5,0) = 1

(6,0) = 1

Двигаемся вверх:

(0,1) = 1

(0,2) = 1

(0,3) = 1

(0,4) = 1

(0,5) = 1

(0,6) = 1

Теперь суммируем:

(1,1) = \( (1,0) + (0,1) = 1 + 1 = 2 \)

(2,1) = \( (2,0) + (1,1) = 1 + 2 = 3 \)

(3,1) = \( (3,0) + (2,1) = 1 + 3 = 4 \)

(4,1) = \( (4,0) + (3,1) = 1 + 4 = 5 \)

(5,1) = \( (5,0) + (4,1) = 1 + 5 = 6 \)

(6,1) = \( (6,0) + (5,1) = 1 + 6 = 7 \)

(1,2) = \( (1,1) + (0,2) = 2 + 1 = 3 \)

(2,2) = \( (2,1) + (1,2) = 3 + 3 = 6 \)

(3,2) = \( (3,1) + (2,2) = 4 + 6 = 10 \)

(4,2) = \( (4,1) + (3,2) = 5 + 10 = 15 \)

(5,2) = \( (5,1) + (4,2) = 6 + 15 = 21 \)

(6,2) = \( (6,1) + (5,2) = 7 + 21 = 28 \)

(1,3) = \( (1,2) + (0,3) = 3 + 1 = 4 \)

(2,3) = \( (2,2) + (1,3) = 6 + 4 = 10 \)

(3,3) = \( (3,2) + (2,3) = 10 + 10 = 20 \)

(4,3) = \( (4,2) + (3,3) = 15 + 20 = 35 \)

(5,3) = \( (5,2) + (4,3) = 21 + 35 = 56 \)

(6,3) = \( (6,2) + (5,3) = 28 + 56 = 84 \)

(1,4) = \( (1,3) + (0,4) = 4 + 1 = 5 \)

(2,4) = \( (2,3) + (1,4) = 10 + 5 = 15 \)

(3,4) = \( (3,3) + (2,4) = 20 + 15 = 35 \)

(4,4) = \( (4,3) + (3,4) = 35 + 35 = 70 \)

(5,4) = \( (5,3) + (4,4) = 56 + 70 = 126 \)

(6,4) = \( (6,3) + (5,4) = 84 + 126 = 210 \)

(1,5) = \( (1,4) + (0,5) = 5 + 1 = 6 \)

(2,5) = \( (2,4) + (1,5) = 15 + 6 = 21 \)

(3,5) = \( (3,4) + (2,5) = 35 + 21 = 56 \)

(4,5) = \( (4,4) + (3,5) = 70 + 56 = 126 \)

(5,5) = \( (5,4) + (4,5) = 126 + 126 = 252 \)

(6,5) = \( (6,4) + (5,5) = 210 + 252 = 462 \)

(1,6) = \( (1,5) + (0,6) = 6 + 1 = 7 \)

(2,6) = \( (2,5) + (1,6) = 21 + 7 = 28 \)

(3,6) = \( (3,5) + (2,6) = 56 + 28 = 84 \)

(4,6) = \( (4,5) + (3,6) = 126 + 84 = 210 \)

(5,6) = \( (5,5) + (4,6) = 252 + 210 = 462 \)

(6,6) = \( (6,5) + (5,6) = 462 + 462 = 924 \)

Точка \( Б \) находится в конце сетки, соответствующей последнему узлу (6,6).

Ответ: 924 способа.