53*. Дано: BM = BK, ∠AMB = ∠CKB, AC — биссектриса ∠BAF. Доказать: AF ∥ BC.

Рассмотрим треугольники ABM и BCK.

1. Так как точки A, B, K лежат на одной прямой, а точки B, M, C — на одной прямой, то

   \(\angle ABM=\angle CBK\).

2. По условию

   \(\angle AMB=\angle CKB\).

3. Следовательно, треугольники ABM и CBK подобны по двум углам:

   \(\triangle ABM\sim\triangle CBK\).

4. При этом сторона BM соответствует стороне BK. По условию \(BM=BK\), поэтому коэффициент подобия равен 1. Значит, соответствующие стороны равны:

   \(AB=BC\).

5. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и его углы при основании AC равны:

   \(\angle BAC=\angle ACB\).

6. Так как AC — биссектриса угла BAF, то

   \(\angle CAF=\angle BAC\).

   Значит,

   \(\angle CAF=\angle ACB\).

7. Это накрест лежащие углы при пересечении прямых AF и BC секущей AC. Следовательно,

   \(AF\parallel BC\).