516. а) Если имеющиеся карандаши разложить в коробки, по 8 штук в каждую, то останется 5 лишних карандашей. Если их разложить по 6 штук в каждую, то тоже останется 5 лишних карандашей. Сколько имеется карандашей, если их больше 50?

Если после раскладывания по 8 и по 6 карандашей остаётся по 5, то число карандашей на 5 больше числа, которое делится и на 8, и на 6.

Общее кратное 8 и 6 должно делиться на их наименьшее общее кратное: НОК(8, 6) = 24. Поэтому число карандашей имеет вид 24 · k + 5. Наименьшее такое число, превышающее 50, — 24 · 2 + 5 = 53.

Ответ: 53 карандаша.