51 Все приведённые ниже утверждения — неверные. Подтвердите это рисунком-контрпримером.

Решение:

Условие задачи гласит, что все приведённые утверждения неверны, и требуется привести контрпример. Контрпример — это случай, когда условие выполняется, а вывод — нет.

а) Углы 1 и 2 равны, поэтому углы 1 и 2 вертикальные.

Контрпример: Если провести две пересекающиеся прямые, то углы, смежные с одним из образовавшихся вертикальных углов, будут равны между собой, но не будут вертикальными. Например, если ∠1 = 60°, то смежный с ним угол ∠3 = 180° - 60° = 120°, и вертикальный к нему ∠2 = 60°. В данном случае ∠1 = ∠2, но они не являются вертикальными.

б) Углы 1 и 2 равны и имеют общую вершину, значит, углы 1 и 2 вертикальные.

Контрпример: Если две прямые пересекаются, и их углы равны, а вершины совпадают, это не гарантирует, что они вертикальные. Например, если у нас есть два угла, которые имеют общую вершину и равны 40°, но при этом являются соседними углами, образующими больший угол в 80°, они не являются вертикальными.

в) Углы 1 и 2 равны и их биссектрисы лежат на одной прямой, следовательно, углы 1 и 2 вертикальные.

Контрпример: Если биссектрисы двух равных углов лежат на одной прямой, это означает, что эти углы являются смежными, а не вертикальными. Например, если биссектриса угла 1 и биссектриса угла 2 образуют развёрнутый угол 180°, то сами углы 1 и 2 являются смежными и их сумма равна 180°. Если они равны, то каждый из них равен 90°. В этом случае они не вертикальные.

Вывод: Приведенные контрпримеры показывают, что равенство углов, наличие общей вершины или расположение биссектрис на прямой не являются достаточными условиями для того, чтобы углы считались вертикальными. Необходимым условием является то, что они должны быть образованы пересечением двух прямых.