508. (Для работы в парах.) Используя график функции y = x², решите уравнение: a) x² = 4; б) x² = -1; в) x² = 5; г) x² = 0. 1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто — задания в), г), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий. 3) Сделайте вывод о числе корней уравнения x² = а при различных значениях а.

Решение:

График функции \( y = x^2 \) — парабола с вершиной в начале координат. Решить уравнение \( x^2 = a \) — значит найти точки пересечения параболы \( y = x^2 \) и прямой \( y = a \).

а) \( x^2 = 4 \)

Прямая \( y = 4 \) пересекает параболу \( y = x^2 \) в двух точках. Найдём их:

\( x = \pm\sqrt{4} \)

\( x_1 = 2 \), \( x_2 = -2 \)

б) \( x^2 = -1 \)

Прямая \( y = -1 \) не пересекает параболу \( y = x^2 \), так как \( x^2 \) не может быть отрицательным числом.

Уравнение не имеет корней.

в) \( x^2 = 5 \)

Прямая \( y = 5 \) пересекает параболу \( y = x^2 \) в двух точках.

\( x = \pm\sqrt{5} \)

\( x_1 = \sqrt{5} \), \( x_2 = -\sqrt{5} \)

г) \( x^2 = 0 \)

Прямая \( y = 0 \) (ось абсцисс) касается параболы \( y = x^2 \) в одной точке — вершине.

\( x^2 = 0 \) \( \implies \) \( x = 0 \)

Вывод о числе корней уравнения \( x^2 = a \):

• Если \( a > 0 \) (как в пунктах а) и в)), то уравнение \( x^2 = a \) имеет два корня: \( x = \sqrt{a} \) и \( x = -\sqrt{a} \).
• Если \( a = 0 \) (как в пункте г)), то уравнение \( x^2 = a \) имеет один корень: \( x = 0 \).
• Если \( a < 0 \) (как в пункте б)), то уравнение \( x^2 = a \) не имеет действительных корней.

Ответ: а) \( x = \pm 2 \); б) нет корней; в) \( x = \pm \sqrt{5} \); г) \( x = 0 \).