50*. Сумма углов AOD и BOC равна 180°, OK — биссектриса угла AOC, OE — биссектриса угла BOD (рис. 97). Докажите, что OK ⊥ OE.

Решение:

Дано: \( \angle AOD + \angle BOC = 180^{\circ} \), \( OK \) — биссектриса \( \angle AOC \), \( OE \) — биссектриса \( \angle BOD \).

Доказать: \( OK \perp OE \).

1. Так как \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные углы, то \( \angle AOD = \angle BOC \).
2. Условие \( \angle AOD + \angle BOC = 180^{\circ} \) означает, что \( 2 \angle AOD = 180^{\circ} \), следовательно, \( \angle AOD = 90^{\circ} \) и \( \angle BOC = 90^{\circ} \).
3. \( \angle AOD \) и \( \angle AOC \) — смежные углы, поэтому \( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
4. \( OK \) — биссектриса \( \angle AOC \), значит, \( \angle AOK = \angle KOC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
5. \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) — вертикальные углы, поэтому \( \angle BOD = \angle AOC = 90^{\circ} \).
6. \( OE \) — биссектриса \( \angle BOD \), значит, \( \angle BOE = \angle EOD = \frac{\angle BOD}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
7. \( \angle KOE = \angle KOC + \angle COE \).
8. \( \angle COE \) — смежный с \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \). \( \angle AOE = \angle AOD + \angle DOE = 90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ} \).
9. \( \angle COE = 180^{\circ} - \angle AOE = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).
10. \( \angle KOE = \angle KOC + \angle COE = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ} \).
11. Так как \( \angle KOE = 90^{\circ} \), то \( OK \perp OE \).

Доказано.