50. Два человека одновременно отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,8 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии (в км) от точки отправления произойдёт их встреча?

Решение:

1. Пусть \( v_1 = 2.5 \) км/ч — скорость первого человека, \( v_2 = 3.5 \) км/ч — скорость второго человека.
2. Расстояние до опушки \( S = 4.8 \) км.
3. Пусть \( t \) — время до встречи от начала движения.
4. Первый человек за время \( t \) пройдёт расстояние \( S_1 = v_1 t = 2.5t \) км.
5. Второй человек дошёл до опушки и повернул обратно. Время, за которое второй человек дошёл до опушки: \( t_{до \text{ опушки}} = \frac{S}{v_2} = \frac{4.8}{3.5} = \frac{48}{35} \) часов.
6. Расстояние, которое прошёл второй человек, когда они встретились, равно \( S_2 = v_2 t = 3.5t \) км.
7. Если встреча произошла до того, как второй человек дошёл до опушки (то есть \( t ≤ \frac{48}{35} \)), то \( S_1 = S_2 \), что невозможно, так как \( v_1 ≠ v_2 \).
8. Значит, встреча произошла после того, как второй человек повернул обратно.
9. Расстояние, которое второй человек прошёл обратно от опушки, равно \( S_{обратно} = v_2 (t - t_{до \text{ опушки}}) = 3.5(t - \frac{48}{35}) \) км.
10. Расстояние второго человека от точки отправления на момент встречи: \( S_2 = S - S_{обратно} = 4.8 - 3.5(t - \frac{48}{35}) \) км.
11. В точке встречи \( S_1 = S_2 \).
12. \( 2.5t = 4.8 - 3.5(t - \frac{48}{35}) \)
13. \( 2.5t = 4.8 - 3.5t + 3.5 \frac{48}{35} \)
14. \( 2.5t = 4.8 - 3.5t + \frac{168}{35} \)
15. \( 2.5t = 4.8 - 3.5t + 4.8 \)
16. \( 2.5t + 3.5t = 4.8 + 4.8 \)
17. \( 6t = 9.6 \)
18. \( t = \frac{9.6}{6} = 1.6 \) часов.
19. Теперь найдём расстояние от точки отправления, на котором произошла встреча: \( S_{встречи} = S_1 = v_1 t = 2.5 \text{ км/ч} 1.6 \text{ ч} = 4 \) км.
20. Проверим расстояние второго человека: \( S_2 = 4.8 - 3.5(1.6 - \frac{48}{35}) = 4.8 - 3.5(1.6 - 1.3714...) = 4.8 - 3.5(0.2286...) = 4.8 - 0.8 = 4 \) км.
21. Расстояние совпало.

Ответ: 4 км.