50. (Демо) Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 3 и 7.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC = 3, AD = 7, AB = CD. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, значит \( \angle BAD = \angle CDA = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABH \( \angle AHB = 90^{\circ} \) и \( \angle BAH = 45^{\circ} \). Следовательно, \( \angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Таким образом, треугольник ABH — равнобедренный прямоугольный, и \( BH = AH \).

Отрезок AH можно найти, зная основания трапеции: \( AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Так как \( BH = AH \), то высота трапеции \( BH = 2 \).

Ответ: 2