Контрольные задания > 5. Задача. В правильный треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Найдите сторону треугольника и радиус описанной около него окружности. (Требуется чертёж, условие, решение, ответ)
Вопрос:

5. Задача. В правильный треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Найдите сторону треугольника и радиус описанной около него окружности. (Требуется чертёж, условие, решение, ответ)

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткая запись:

  • Правильный треугольник
  • Вписанная окружность (r): 4 см
  • Найти:
    • Сторона треугольника (a) — ?
    • Описанная окружность (R) — ?
Краткое пояснение: Для правильного треугольника существуют чёткие соотношения между радиусом вписанной окружности (r), радиусом описанной окружности (R) и длиной стороны (a). Эти соотношения можно вывести из свойств равностороннего треугольника и его центров.

Решение:

  1. Свойства правильного треугольника: В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.
  2. Связь между r и R: Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: \( R = 2r \).
  3. Находим R: \( R = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \) см.
  4. Связь между стороной (a) и радиусом вписанной окружности (r): \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
  5. Находим сторону (a): Выразим 'a' из формулы: \( a = 2r\sqrt{3} \).
    \( a = 2 \cdot 4 \text{ см} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) см.

Ответ: Сторона треугольника равна \( 8\sqrt{3} \) см, радиус описанной окружности равен \( 8 \) см.

ГДЗ по фото 📸