5) Задача. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а площадь - 60 см². Найдите стороны прямоугольника.

5. Задача:

Дано:
Прямоугольник.
Диагональ \( d = 13 \) см.
Площадь \( S = 60 \) см².
Найти:
Стороны прямоугольника \( a \) и \( b \).

Решение:
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю, имеем: \( a^2 + b^2 = d^2 \).
\( a^2 + b^2 = 13^2 \).
\( a^2 + b^2 = 169 \).
Площадь прямоугольника равна: \( S = a x b \).
\( a x b = 60 \).
Теперь у нас есть система уравнений:
1) \( a^2 + b^2 = 169 \)
2) \( ab = 60 \)
Из второго уравнения выразим \( b = \frac{60}{a} \) и подставим в первое:
\( a^2 + (\frac{60}{a})^2 = 169 \)
\( a^2 + \frac{3600}{a^2} = 169 \)
Умножим обе части на \( a^2 \) (при \( a \) ≠ 0):
\( a^4 + 3600 = 169a^2 \)
Перенесем всё в одну сторону:
\( a^4 - 169a^2 + 3600 = 0 \)
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = a^2 \). Тогда уравнение примет вид:
\( y^2 - 169y + 3600 = 0 \)
Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:
\( D = (-169)^2 - 4 x 1 x 3600 = 28561 - 14400 = 14161 \).
\( \sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119 \).
\( y_1 = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144 \).
\( y_2 = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25 \).
Теперь вернемся к замене \( y = a^2 \>:
Если \( y_1 = 144 \), то \( a^2 = 144 \>, значит \( a = 12 \) (поскольку длина стороны должна быть положительной).
Если \( y_2 = 25 \), то \( a^2 = 25 \>, значит \( a = 5 \>.
Теперь найдем соответствующие значения \( b \>:
Если \( a = 12 \>, то \( b = \(\frac{60}{12}\) = 5 \>.
Если \( a = 5 \>, то \( b = \(\frac{60}{5}\) = 12 \>.
Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 5 см.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 12 см и 5 см.