5. В цветочном магазине продаются тюльпаны пяти цветов. Сколько можно составить разных букетов из трёх тюльпанов так, что: а) все три цветка разных цветов; б) хотя бы один цветок отличается цветом от других?

Решение:

В магазине есть тюльпаны пяти разных цветов.

а) Все три цветка разных цветов:

Это задача на сочетания без повторений. Нам нужно выбрать 3 разных цвета из 5 доступных.

Формула для числа сочетаний из \( n \) по \( k \): \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

В нашем случае \( n=5 \) (количество цветов) и \( k=3 \) (количество тюльпанов в букете).

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

б) Хотя бы один цветок отличается цветом от других:

Это событие противоположно тому, что все три цветка одного цвета.

Сначала найдем общее количество возможных букетов из трёх тюльпанов, если цвета могут повторяться (сочетания с повторениями).

Формула для числа сочетаний с повторениями: \( C_n^k = C_{n+k-1}^k \).

\[ C_{5+3-1}^3 = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

Теперь найдем количество букетов, где все три цветка одного цвета. Так как у нас 5 разных цветов, то есть 5 таких букетов (три красных, три синих и т.д.).

Вероятность того, что хотя бы один цветок отличается цветом от других, равна общему числу букетов минус количество букетов, где все цветы одного цвета.

\( 35 - 5 = 30 \).

Ответ: а) 10 букетов; б) 30 букетов.