5. В \( \triangle ABC \) угол \( C \) равен 24°, а угол между прямыми, содержащими биссектрису \( \angle BAC \) и биссектрису внешнего угла \( C \) равен 56°. Найдите градусную меру \( \angle ABC \).

Решение:

Пусть \( AD \) — биссектриса \( \angle BAC \), а \( CE \) — биссектриса внешнего угла при вершине \( C \).

Обозначим \( \angle BAC = \alpha \), \( \angle ABC = \beta \).

Внешний угол при вершине \( C \) равен \( 180° - \angle C = 180° - 24° = 156° \).

Так как \( CE \) — биссектриса внешнего угла, то \( \angle BCE = \frac{156°}{2} = 78° \).

Угол между биссектрисой \( AD \) и биссектрисой \( CE \) равен 56°. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Биссектриса \( AD \) пересекает биссектрису \( CE \) внутри \( \triangle ABC \).

Угол между биссектрисами \( AD \) и \( CE \) в \( \triangle AOC \) (где \( O \) — точка пересечения биссектрис) равен \( \angle AOC = 56° \).

В \( \triangle ABC \): \( \alpha + \beta + 24° = 180° \) → \( \alpha + \beta = 156° \).

В \( \triangle AOC \): \( \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180° \).

\( \angle OAC = \frac{\alpha}{2} \).

\( \angle OCA = \angle OCE - \angle ACE = 78° - 24° = 54° \).

\( \frac{\alpha}{2} + 54° + 56° = 180° \)

\( \frac{\alpha}{2} + 110° = 180° \)

\( \frac{\alpha}{2} = 70° \)

\( \alpha = 140° \).

Тогда \( \beta = 156° - 140° = 16° \).

Случай 2: Биссектриса \( CE \) пересекает биссектрису \( AD \) снаружи \( \triangle ABC \).

Угол между биссектрисами равен 56°.

Рассмотрим \( \triangle ACD \). \( \angle CAD = \frac{\alpha}{2} \), \( \angle ACD = 24° \), \( \angle ADC = 180° - \frac{\alpha}{2} - 24° \).

Угол между биссектрисами \( AD \) и \( CE \) равен \( 56° \).

Используем формулу для угла между биссектрисой угла \( A \) и биссектрисой внешнего угла \( C \):

\( \phi = \frac{| \angle A - \angle C |}{2} \) или \( \phi = \frac{| \angle A + \angle C |}{2} \) (в зависимости от расположения).

В данном случае угол между биссектрисой \( \angle A \) и биссектрисой внешнего угла \( C \) равен \( \frac{| \angle A - \angle C |}{2} \) если \( \angle A > \angle C \) или \( \frac{| \angle C - \angle A |}{2} \) если \( \angle C > \angle A \).

Угол между биссектрисой \( \angle BAC \) и биссектрисой внешнего угла \( C \) равен \( \frac{| \angle BAC - \angle ABC |}{2} \) (это формула для угла между биссектрисами треугольника).

Формула для угла между биссектрисой внутреннего угла \( A \) и биссектрисой внешнего угла \( C \) не является стандартной. Давайте выведем.

Пусть \( AD \) — биссектриса \( \angle A \), \( CE \) — биссектриса внешнего угла при \( C \).

\( \angle CAD = \alpha / 2 \).

Внешний угол при \( C = 180° - 24° = 156° \).

\( \angle ACE = 156° / 2 = 78° \).

Рассмотрим \( \triangle ACD \). \( \angle ADC = 180° - \angle A - \angle C = 180° - \alpha - 24° \).

Угол между \( AD \) и \( CE \) равен 56°.

Возможны два случая расположения биссектрис.

Случай 1: \( AD \) и \( CE \) пересекаются так, что образуют угол 56°.

В \( \triangle ABC \): \( \alpha + \beta + 24° = 180° \) → \( \alpha + \beta = 156° \).

Пусть \( O \) — точка пересечения \( AD \) и \( CE \).

\( \angle OAC = \alpha / 2 \).

\( \angle OCA = \angle ACE - \angle C = 78° - 24° = 54° \).

В \( \triangle AOC \): \( \angle AOC = 180° - \angle OAC - \angle OCA = 180° - \frac{\alpha}{2} - 54° \).

Если \( \angle AOC = 56° \), то \( 56° = 180° - \frac{\alpha}{2} - 54° \) → \( \frac{\alpha}{2} = 180° - 54° - 56° = 70° \) → \( \alpha = 140° \).

Тогда \( \beta = 156° - 140° = 16° \).

Случай 2: Угол между прямыми, содержащими биссектрисы, равен 56°.

Если \( AD \) и \( CE \) пересекаются так, что один из углов равен 56°.

Тогда \( \angle A \) и \( \angle C_{ext} \) связаны с углом между их биссектрисами.

Угол между биссектрисой \( \angle A \) и биссектрисой внешнего угла \( C \) равен \( \frac{| \angle ABC - \angle BAC |}{2} \) - это формула для угла между биссектрисами треугольника.

Существует теорема: Угол между биссектрисой \( \angle A \) и биссектрисой внешнего угла \( C \) равен половине \( \angle B \). То есть \( 56° = \frac{1}{2} \angle ABC \) → \( \angle ABC = 112° \).

Проверим эту теорему.

Пусть \( AD \) — биссектриса \( \angle A \), \( CE \) — биссектриса внешнего угла при \( C \), \( O \) — точка пересечения \( AD \) и \( CE \).

В \( \triangle ADC \): \( \angle ADC = 180° - \frac{\alpha}{2} - 24° \).

В \( \triangle OAC \): \( \angle AOC = 180° - \frac{\alpha}{2} - \angle OCA \).

\( \angle OCA = \angle ACE - \angle C = 78° - 24° = 54° \).

\( \angle AOC = 180° - \frac{\alpha}{2} - 54° \).

Угол между прямыми \( AD \) и \( CE \) равен 56°.

Если \( \angle AOC = 56° \), то \( 56° = 180° - \frac{\alpha}{2} - 54° \) → \( \frac{\alpha}{2} = 70° \) → \( \alpha = 140° \).

\( \beta = 180° - 140° - 24° = 16° \).

Если \( \angle AOC = 180° - 56° = 124° \), то \( 124° = 180° - \frac{\alpha}{2} - 54° \) → \( \frac{\alpha}{2} = 180° - 54° - 124° = 2° \) → \( \alpha = 4° \).

\( \beta = 180° - 4° - 24° = 152° \).

Применим теорему: Угол между биссектрисой \( \angle BAC \) и биссектрисой внешнего угла \( C \) равен половине \( \angle ABC \).

\( 56° = \frac{1}{2} \angle ABC \)

\( \angle ABC = 56° \cdot 2 = 112° \).

Проверим, если \( \angle ABC = 112° \).

\( \alpha = 180° - 112° - 24° = 44° \).

\( \angle BAC = 44° \).

Биссектриса \( AD \) делит \( \angle BAC \) на \( 22° \).

Внешний угол при \( C = 180° - 24° = 156° \).

Биссектриса \( CE \) делит внешний угол на \( 78° \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 44° \), \( \angle B = 112° \), \( \angle C = 24° \).

Пусть \( AD \) и \( CE \) пересекаются в точке \( O \).

\( \angle EAC = \angle BAC + \angle BCE = 44° + 78° = 122° \).

Рассмотрим \( \triangle ACD \). \( \angle CAD = 22° \), \( \angle ACD = 24° \). \( \angle ADC = 180° - 22° - 24° = 134° \).

Угол между \( AD \) и \( CE \) равен 56°.

Ответ: 112°.