5. В треугольнике АВС угол В равен 34°. Найдите ∠BDC, если точка D симметрична вершине С относительно прямой АВ.

Дано:

• $$ riangle ext{ABC}$$
• $$ ext{∠B = 34°}$$
• Точка D симметрична точке C относительно прямой AB

Найти: $$ ext{∠BDC}$$

Решение:

1. Симметричность: Если точка D симметрична точке C относительно прямой AB, то прямая AB является серединным перпендикуляром к отрезку CD.
2. Свойства симметрии:
   • Отрезок CD перпендикулярен прямой AB.
   • Точка пересечения отрезка CD и прямой AB (назовем ее O) является серединой отрезка CD.
   • CO = OD.
3. Рассмотрим $$ riangle BCO$$ и $$ riangle BDO$$:
   • BC = BD (по свойству симметрии, расстояние от точки B на оси симметрии до C и D одинаково).
   • CO = OD (по определению серединного перпендикуляра).
   • BO — общая сторона.
   • Следовательно, $$ riangle ext{BCO} riangle ext{BDO}$$ по трем сторонам (SSS).
4. Равенство углов: Из равенства треугольников следует, что $$ ext{∠BCO = ∠BDO}$$ и $$ ext{∠CBO = ∠DBO}$$.
5. Связь с $$ riangle ABC$$: Так как D симметрична C относительно AB, то $$ ext{∠ABC = ∠ABD = 34°}$$.
6. Угол $$ ext{∠CBD}$$: $$ ext{∠CBD = ∠ABC + ∠ABD = 34° + 34° = 68°}$$.
7. Рассмотрим $$ riangle BCD$$: Это равнобедренный треугольник, так как BC = BD.
8. Углы равнобедренного треугольника: Углы при основании равны: $$ ext{∠BCD = ∠BDC}$$.
9. Сумма углов в $$ riangle BCD$$: $$ ext{∠CBD + ∠BCD + ∠BDC = 180°}$$.
10. Подставляем значения:
    • $$ ext{68° + ∠BDC + ∠BDC = 180°}$$
    • $$ ext{2∠BDC = 180° - 68°}$$
    • $$ ext{2∠BDC = 112°}$$
    • $$ ext{∠BDC = 56°}$$

Ответ: 56°