5. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, отрезки MK || BC (K∈ AB), KN || AC (N∈ BC). Найдите периметр четырехугольника AKNC, если КВ = 8 см, АМ = 9 см, BN = 7 см.

Дано:

â–³ABC, BM — медиана.

MK || BC, KN || AC.

KB = 8 см.

AM = 9 см.

BN = 7 см.

Найти:

P_AKNC — периметр четырёхугольника AKNC.

Решение:

Так как BM — медиана, то AM = MC = 9 см.

MK || BC, K ∈ AB. По теореме Фалеса (или следствию из неё), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают пропорциональные отрезки.

В â–³ABC, MK || BC, K ∈ AB, M ∈ AC. Следовательно, BK/KA = BM/MC. Однако, нам известны отрезки AM и BN, а не KA и BK.

Рассмотрим â–³ABC. KN || AC, N ∈ BC. По теореме Фалеса, BN/NC = BK/KA.

Из условия задачи нам дано, что BN = 7 см. Так как N ∈ BC, то BC = BN + NC. Но нам неизвестно NC.

Вернёмся к условию: BM — медиана, значит M — середина AC. AM = MC = 9 см.

MK || BC. По теореме о средней линии треугольника, если отрезок проходит через середину одной стороны и параллелен другой стороне, то он пересекает третью сторону в её середине. Так как M — середина AC и MK || BC, то K — середина AB.

Следовательно, AK = KB. По условию KB = 8 см, значит AK = 8 см.

KN || AC. По теореме Фалеса, так как K — середина AB, то N — середина BC.

Следовательно, BN = NC. По условию BN = 7 см, значит NC = 7 см.

Теперь мы можем найти стороны четырёхугольника AKNC:

AK = 8 см (так как K — середина AB).

KN — средняя линия, соединяющая середины сторон AB и BC. Поэтому KN = 1/2 AC.

AC = AM + MC = 9 см + 9 см = 18 см.

KN = 1/2 * 18 см = 9 см.

NC = 7 см (так как N — середина BC, и BN = 7 см).

AC — это сторона четырёхугольника AKNC, AC = 18 см.

Периметр четырёхугольника AKNC равен сумме длин его сторон: AK + KN + NC + AC.

P_AKNC = AK + KN + NC + AC = 8 см + 9 см + 7 см + 18 см = 42 см.

Ответ: 42 см.