5. В треугольнике \( ABC \) известно, что \( \angle B = 90° \), \( \angle ACB = 60° \), отрезок \( CD \) — биссектриса треугольника. Найдите катет \( AB \), если \( BD = 5 \text{ см} \).

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( ABC \).

1. Найдём угол \( \angle BAC \): \( \angle BAC = 180° - 90° - 60° = 30° \).
2. \( CD \) — биссектриса угла \( C \), значит, она делит \( \angle ACB \) пополам: \( \angle ACD = \angle BCD = 60° / 2 = 30° \).
3. Рассмотрим треугольник \( BCD \). У него \( \angle CBD = 90° \), \( \angle BCD = 30° \).
4. Найдём угол \( \angle BDC \): \( \angle BDC = 180° - 90° - 30° = 60° \).
5. В треугольнике \( BCD \): \( BD = 5 \text{ см} \).
6. В прямоугольном треугольнике \( BCD \) катет, лежащий против угла в \( 30° \), равен половине гипотенузы. \( BD \) лежит против угла \( \angle BCD = 30° \).
7. Значит, \( BD = \frac{1}{2} BC \).
8. \( 5 = \frac{1}{2} BC \) \( → \) \( BC = 10 \text{ см} \).
9. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \). \( \angle BAC = 30° \), \( \angle ABC = 90° \).
10. Катет \( AB \) лежит против угла \( \angle ACB = 60° \) (или против угла \( 30° \) если мы будем использовать \( \angle BAC = 30° \)).
11. Катет \( AB \) лежит против угла \( 60° \). Катет \( BC \) лежит против угла \( 30° \) (который равен \( \angle BAC \)).
12. В прямоугольном треугольнике \( ABC \): \( \tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} \).
13. \( \tan(30°) = \frac{10}{AB} \).
14. \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{AB} \).
15. \( AB = 10 \sqrt{3} \text{ см} \).
16. Альтернативно, \( \tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} \).
17. \( \tan(60°) = \frac{AB}{10} \).
18. \( \sqrt{3} = \frac{AB}{10} \).
19. \( AB = 10 \sqrt{3} \text{ см} \).

Ответ: \( 10\sqrt{3} \text{ см} \)