5. В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, а большая боковая сторона — 20 см. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD
• Основания: \( BC = 6 \) см, \( AD = 22 \) см
• Большая боковая сторона \( CD = 20 \) см
• Угол \( C = 90^\circ \) (т.к. трапеция прямоугольная, и CD — большая боковая сторона, которая не является высотой)

Найти:

• Периметр P

Решение:

1. Проведем высоту из вершины B на основание AD. Точку пересечения обозначим H. Тогда BH = BC = 6 см.
2. Так как ABCD — прямоугольная трапеция, то AB является высотой, а значит, AB = BH = 6 см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. Угол C = 90°.
4. Отрезок HD = AD - AH = AD - BC = 22 - 6 = 16 см.
5. В прямоугольном треугольнике BCD, с учетом того, что BC является высотой (BC = 6 см), мы можем найти боковую сторону CD, если бы мы знали что CD - наклонная. Но по условию CD - большая боковая сторона, а AB - высота. Тогда AB = 6 см.
6. Значит, для прямоугольного треугольника BCD, где CD - гипотенуза (20 см), BC - катет (6 см), а BD - другой катет. Но у нас нет BD.
7. Давайте переформулируем. В прямоугольной трапеции ABCD, где \( BC \parallel AD \) и \( AB \perp AD \), \( AB \perp BC \).
8. Тогда AB — высота. По условию \( AB = 6 \) см (меньшее основание).
9. Но в условии сказано, что большая боковая сторона = 20 см. Это CD.
10. Значит, AB = 6 см.
11. Проведем высоту из вершины C к основанию AD. Точка пересечения — H.
12. Тогда CH = AB = 6 см.
13. \( HD = AD - AH \). Так как ABCH — прямоугольник, то AH = BC = 6 см.
14. \( HD = 22 - 6 = 16 \) см.
15. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. По теореме Пифагора: \( CD^2 = CH^2 + HD^2 \)
16. \( CD^2 = 6^2 + 16^2 = 36 + 256 = 292 \)
17. \( CD = \sqrt{292} = \sqrt{4 \times 73} = 2\sqrt{73} \) см.
18. Но по условию большая боковая сторона равна 20 см. Это означает, что CD = 20 см.
19. Значит, в прямоугольном треугольнике CHD: \( CH = 6 \) см (высота), \( HD = 16 \) см. \( CD = \sqrt{6^2 + 16^2} = \sqrt{36 + 256} = \sqrt{292} \approx 17.09 \) см.
20. Условие о большой боковой стороне (20 см) противоречит вычисленной стороне \( CD \).
21. Предположим, что боковая сторона, перпендикулярная основаниям, является меньшей. Тогда AB = 20 см.
22. Тогда \( BC = 6 \) см, \( AD = 22 \) см.
23. Проведем высоту CH. \( CH = AB = 20 \) см.
24. \( HD = AD - AH = AD - BC = 22 - 6 = 16 \) см.
25. Найдем боковую сторону CD: \( CD^2 = CH^2 + HD^2 = 20^2 + 16^2 = 400 + 256 = 656 \)
26. \( CD = \sqrt{656} = \sqrt{16 \times 41} = 4\sqrt{41} \approx 25.6 \) см.
27. Это тоже не 20 см.
28. Перечитаем условие: "В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, а большая боковая сторона — 20 см."
29. Пусть \( BC = 6 \) см (меньшее основание), \( AD = 22 \) см (большее основание).
30. AB — высота, значит \( AB ⊥ AD \) и \( AB ⊥ BC \).
31. Пусть \( AB = h \).
32. Боковая сторона CD.
33. Проведем высоту из C на AD, CH. \( CH = AB = h \). \( AH = BC = 6 \). \( HD = AD - AH = 22 - 6 = 16 \).
34. В прямоугольном треугольнике CHD: \( CD^2 = CH^2 + HD^2 = h^2 + 16^2 \)
35. Есть два варианта: либо \( AB \) — большая боковая сторона, либо \( CD \) — большая боковая сторона.
36. Если \( AB = 20 \) см (большая боковая сторона), то \( h = 20 \). Тогда \( CD^2 = 20^2 + 16^2 = 400 + 256 = 656 \). \( CD = \sqrt{656} \approx 25.6 \) см. В этом случае \( CD \) — большая боковая сторона, а \( AB \) — меньшая.
37. Если \( CD = 20 \) см (большая боковая сторона), то \( 20^2 = h^2 + 16^2 \). \( 400 = h^2 + 256 \). \( h^2 = 400 - 256 = 144 \). \( h = 12 \) см.
38. Значит, высота \( AB = 12 \) см.
39. Периметр трапеции \( P = AB + BC + CD + AD \)
40. \( P = 12 + 6 + 20 + 22 = 60 \) см.

Ответ: 60 см.