5. В правильной треугольной пирамиде угол между боковым ребром и стороной основания, имеющей с ним общую вершину, равен а. Найдите объём пирамиды, если её высота равна һ.

Решение:

Объём правильной треугольной пирамиды V = (1/3) * S_осн * h.

1. Основание пирамиды:
   Правильная треугольная пирамида имеет равносторонний треугольник в основании.
2. Высота пирамиды (h):
   h = \(h\).
3. Боковое ребро (l):
   Пусть \(l\) — длина бокового ребра. Пусть \(a\) — сторона основания.
   Рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром (\(l\)), стороной основания (\(a\)) и углом между ними (\(\alpha\)).
   По теореме косинусов в этом треугольнике:
   \[ a^2 = l^2 + l^2 - 2 l^2 \cos(\alpha) = 2l^2 (1 - \cos(\alpha)) \]
   \[ a^2 = 2l^2 (2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})) = 4l^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \]
   \[ a = 2l \sin(\frac{\alpha}{2}) \]
4. Высота пирамиды (h) и боковое ребро (l):
   В правильной треугольной пирамиде высота \(h\) связана с боковым ребром \(l\) и стороной основания \(a\) через апофему \(h_a\) (высоту боковой грани).
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (\(h\)), радиусом вписанной окружности основания (\(r_{in}\)) и боковым ребром \(l\).
   \[ l^2 = h^2 + r_{in}^2 \]
   Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника: \(r_{in} = \frac{a}{2\sqrt{3}}\,\).
   \[ l^2 = h^2 + (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2 = h^2 + \frac{a^2}{12} \]
5. Связь стороны основания (a) и бокового ребра (l) через угол \(\alpha\):
   \(a = 2l \sin(\frac{\alpha}{2})\) => \(a^2 = 4l^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})\).
6. Выразим \(l^2\) через \(h\) и \(a^2\):
   \[ l^2 = \frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \]
   Подставим в уравнение \(l^2 = h^2 + \frac{a^2}{12}\):
   \[ \frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = h^2 + \frac{a^2}{12} \]
   \[ a^2 (\frac{1}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{1}{12}) = h^2 \]
   \[ a^2 (\frac{3 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{12 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}) = h^2 \]
   \[ a^2 = \frac{12 h^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{3 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \]
7. Площадь основания (S_осн):
   Площадь равностороннего треугольника: \(S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).
   \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{12 h^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{3 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{3 \sqrt{3} h^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{3 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \]
8. Объём пирамиды (V):
   \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \times \frac{3 \sqrt{3} h^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{3 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \times h \]
   \[ V = \frac{\sqrt{3} h^3 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{3 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \]

Ответ: \(\frac{\sqrt{3} h^3 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{3 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})}\)