5) В параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что это ромб.

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), диагонали которого \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны и пересекаются в точке \(O\).

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(AO=OC\).
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COB\). У них \(AO=OC\), сторона \(OB\) — общая, а углы \(AOB\) и \(COB\) прямые.
3. Следовательно, треугольники равны по двум катетам.
4. Отсюда \(AB=BC\).
5. В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\), \(BC=AD\). Значит, \(AB=BC=CD=AD\).

Все стороны параллелограмма равны, следовательно, он является ромбом.

Что и требовалось доказать.