5. Угол АОВ опирается на хорду АВ длиной 6. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение:

В треугольнике АОВ стороны ОА и ОВ являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OB \). Следовательно, треугольник АОВ — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Так как \( \angle OAB = 60^{\circ} \), то \( \angle OBA = 60^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Так как все углы треугольника АОВ равны 60°, то треугольник АОВ — равносторонний.

Следовательно, все стороны треугольника АОВ равны. Так как хорда АВ равна 6, то и радиус окружности равен 6.

Ответ: 6.