5) Треугольник АВС - равнобедренный (AB=BC). ВН-медиана, угол С = 30°, CD=5 м. Найдите периметр треугольника АВС.

Решение:

Треугольник АВС - равнобедренный с основанием АС. ВН - медиана, проведенная к основанию, значит, она является также высотой и биссектрисой. Угол С = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC:

1. Угол С = 30°.
2. BH - высота, значит, угол BHC = 90°.
3. CH = AC / 2.
4. tg(C) = BH / CH.
5. tg(30°) = BH / CH.
6. \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BH}{CH} \).
7. \( BH = \frac{CH}{\sqrt{3}} \).

Поскольку ВН - медиана, то АН = СН. Треугольник АВС равнобедренный, значит, AB = BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Угол BDC = 90° (так как BD - высота).

В треугольнике BDC:

1. Угол C = 30°.
2. cos(C) = CD / BC.
3. cos(30°) = CD / BC.
4. \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{BC} \).
5. \( BC = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) м.
6. Так как AB = BC, то \( AB = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC.

sin(C) = BH / BC.

sin(30°) = BH / BC.

\( \frac{1}{2} = \frac{BH}{BC} \).

\( BH = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \) м.

CH = BH / tg(30°) = \( \frac{5\sqrt{3}}{3} \) / \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) = \( \frac{5\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{5 \cdot 3}{3} = 5 \) м.

AC = 2 * CH = 2 * 5 = 10 м.

Периметр треугольника АВС = AB + BC + AC.

Периметр = \( \frac{10\sqrt{3}}{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3} + 10 \) = \( \frac{20\sqrt{3}}{3} + 10 \) м.

Ответ: Периметр треугольника АВС равен \( 10 + \frac{20\sqrt{3}}{3} \) м.