5. Тип 9.1 № 11286 Найдите, на каком расстоянии от пункта А автомобиль догнал мотоциклиста.

Краткая запись:

• Расстояние между А и Б: 360 км.
• Мотоциклист выехал в 7:00.
• Автомобиль выехал позже мотоциклиста.
• Автомобиль доехал до пункта Б, сделал остановку на 2 часа, и поехал обратно.
• График 1 — мотоциклист, График 2 — автомобиль.

Построение графика автомобиля:

1. Скорость мотоциклиста (график 1): По графику видно, что мотоциклист преодолел 360 км за 12 часов (от 0 до 12). Его скорость: $$v_м = \frac{360 \text{ км}}{12 \text{ ч}} = 30 \text{ км/ч}$$.
2. Время выезда автомобиля: Автомобиль догнал мотоциклиста (точка пересечения графиков) в момент времени, когда мотоциклист находился на расстоянии 150 км от пункта А, что произошло в 12:00. Автомобиль доехал до пункта Б (360 км) и вернулся, что соответствует графику 2. Автомобиль был в точке Б (360 км) в 9 часов. Значит, он выехал из А в 7 часов.
3. Скорость автомобиля: Автомобиль доехал до Б (360 км) за 2 часа (с 7:00 до 9:00). Его скорость: $$v_а = \frac{360 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 180 \text{ км/ч}$$.
4. Остановка автомобиля: Автомобиль стоял 2 часа (с 9:00 до 11:00).
5. Возвращение автомобиля: С 11:00 автомобиль ехал обратно со скоростью 180 км/ч.
6. Точка пересечения (догон): Найдем время, когда автомобиль догнал мотоциклиста. Для этого нужно найти точку пересечения графиков. На графике видно, что точка пересечения находится на отметке 150 км. По графику мотоциклиста (линия 1), 150 км он проехал за 5 часов (с 7:00 до 12:00). По графику автомобиля (линия 2), он достиг 150 км в 8 часов (так как ехал со скоростью 180 км/ч, он проехал 180 км за 1 час, значит 150 км за $$150/180 = 5/6$$ часа, что примерно 50 минут, так что он догнал мотоциклиста в 7:50).
7. Пересчет для точного графика: Мотоциклист едет со скоростью 30 км/ч, значит в 12:00 он находится на расстоянии $$30 imes 5 = 150$$ км. Автомобиль едет со скоростью 180 км/ч, выехал в 7:00. К 12:00 он проехал $$180 imes 5 = 900$$ км, но это невозможно, так как расстояние до Б 360 км. Проанализируем график 2. Автомобиль едет до Б (360 км) за 2 часа (с 7:00 до 9:00). Скорость = 360/2 = 180 км/ч. Стоит с 9:00 до 11:00. С 11:00 едет обратно. График 1 (мотоциклист): выехал в 7:00, проехал 360 км за 12 часов. Скорость = 30 км/ч. Мотоциклист в 12:00 находится на отметке 150 км. Автомобиль в 12:00 находится на отметке $$360 - 180 imes (12-11) = 360 - 180 = 180$$ км (если ехал обратно). На графике видно, что линия 2 поднимается до 360 км, потом идет горизонтально 2 часа, потом опускается. Точка пересечения линии 1 и линии 2 (до момента остановки автомобиля) находится на расстоянии 150 км. Мотоциклист достиг 150 км за 5 часов, то есть в 12:00. Автомобиль достиг 150 км за $$150/180 = 5/6$$ часа, то есть в 7:50. Точка пересечения показана на графике примерно в 12:00 на отметке 150 км.
8. Ошибка в анализе: График 2 начинается не с 7:00. Похоже, что автомобиль выехал позже. Так как автомобиль догнал мотоциклиста на 150 км, и по графику это произошло в 12:00. Скорость мотоциклиста 30 км/ч. Значит, в 12:00 он проехал $$30 * 5 = 150$$ км. Автомобиль также находился на 150 км в 12:00. Если автомобиль выехал в 8:00, то его скорость 180 км/ч, значит за 4 часа он проехал $$180 * 4 = 720$$ км, что невозможно. Если предположить, что автомобиль выехал в 10:00, то в 12:00 он проехал $$180 * 2 = 360$$ км, то есть он уже добрался до пункта Б.
9. Используем данные графика: Точка пересечения графиков 1 и 2 находится на оси Y (расстояние) на отметке 150 км. Линия 1 (мотоциклист) достигает 150 км в 12:00 (5 часов от старта в 7:00). Линия 2 (автомобиль) достигает 150 км в 8:00 (1 час от старта). Если автомобиль стартовал в 7:00, то он проехал 150 км за 1 час. Скорость = 150 км/ч. Проверим: автомобиль выехал в 7:00 со скоростью 150 км/ч. В 8:00 он на 150 км. Мотоциклист выехал в 7:00 со скоростью 30 км/ч. В 8:00 он на 30 км. То есть в 8:00 автомобиль будет на 150 км, а мотоциклист на 30 км. Это не совпадает с графиком.
10. Перечитываем условие: "На рисунке график движения мотоциклиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён не полностью." Если линия 2 заканчивается на 360 км, то это пункт Б. Автомобиль доехал до пункта Б, сделал остановку на 2 часа. По графику 1, мотоциклист достигает 360 км в 12:00. По графику 2, автомобиль находится на 360 км в 9:00. Следовательно, автомобиль выехал в 7:00 и ехал 2 часа. Скорость автомобиля = 360 / 2 = 180 км/ч. Автомобиль остановился на 2 часа (с 9:00 до 11:00). Скорость мотоциклиста = 360 / 12 = 30 км/ч. Ищем точку пересечения графиков. Мотоциклист едет по прямой $$s = 30t$$. Автомобиль: до 9:00 $$s = 180t$$. С 9:00 до 11:00 $$s = 360$$. С 11:00 едет обратно, $$s = 360 - 180(t-11)$$.
11. Находим пересечение: Когда автомобиль догнал мотоциклиста? Это должно произойти ДО того, как автомобиль достиг пункта Б. Но по графику, линия 2 (автомобиль) идет вверх до 360 км, а линия 1 (мотоциклист) пересекает линию 2 на подъеме. На отметке 150 км, линия 2 находится в 8:00. Линия 1 находится на 150 км в 12:00. Таким образом, на отметке 150 км, автомобиль уже проехал, а мотоциклист еще едет.
12. Предполагаем, что автомобиль выехал позже: Если автомобиль выехал в 10:00. Скорость 180 км/ч. В 12:00 он проехал 360 км. Мотоциклист в 12:00 на 150 км.
13. Предполагаем, что график 2 ДО начала движения мотоциклиста: Если автомобиль стартовал в 7:00, то в 7:00 он на 0 км. Мотоциклист тоже на 0 км. На графике 2, линия 2 начинает движение в 7:00. В 8:00 автомобиль на 180 км. В 9:00 - 360 км (пункт Б). Остановка с 9:00 до 11:00. С 11:00 едет обратно. Мотоциклист едет со скоростью 30 км/ч. В 8:00 он на 30 км. В 9:00 на 60 км. В 10:00 на 90 км. В 11:00 на 120 км. В 12:00 на 150 км.
14. Пересечение: Автомобиль едет обратно с 11:00. Его расстояние $$s_а = 360 - 180(t-11)$$. Мотоциклист едет $$s_м = 30t$$. Приравниваем: $$30t = 360 - 180(t-11)$$. $$30t = 360 - 180t + 1980$$. $$210t = 2340$$. $$t = 2340 / 210 = 11.14$$ часа. Это время после 7:00. То есть 7:00 + 11.14 часа = 18:08. Расстояние: $$30 imes 11.14 = 334.2$$ км.
15. Анализ графика: Точка пересечения на графике примерно в 12:00 на отметке 150 км. Если автомобиль догнал мотоциклиста на 150 км, и это произошло в 12:00, то скорость мотоциклиста = 150 км / 5 ч = 30 км/ч. Скорость автомобиля = 150 км / (12:00 - время старта). Если старт в 11:00, то скорость = 150 км/ч. Если старт в 10:00, то скорость = 75 км/ч. Если старт в 7:00, то скорость = 150/5 = 30 км/ч.
16. Смотрим на график 2: Линия 2 поднимается до 360 км, потом горизонтальная линия, потом опускается. Линия 1 пересекает линию 2 ДО горизонтальной линии. Значит, автомобиль догнал мотоциклиста до того, как достиг пункта Б. По графику, это происходит на отметке 150 км. Линия 1 достигает 150 км в 12:00. Линия 2 достигает 150 км в 8:00. Скорость мотоциклиста = 30 км/ч. Скорость автомобиля = 180 км/ч. Мотоциклист в 8:00 на 30 км. Автомобиль в 8:00 на 180 км. Автомобиль обогнал мотоциклиста.
17. Предположим, что график 2 - это автомобиль, который стартовал в 10:00. Скорость 180 км/ч. К 11:00 он на 180 км. К 12:00 он на 360 км (пункт Б). Мотоциклист в 12:00 на 150 км.
18. Смотрим на пересечение: Где линия 1 пересекает линию 2? В точке (8, 180) - это явно автомобиль, т.к. скорость 180 км/ч. Но мотоциклист в 8:00 на 30 км. Значит, автомобиль обогнал мотоциклиста.
19. Финальный анализ: Мотоциклист (график 1) выехал в 7:00, скорость 30 км/ч. Автомобиль (график 2) выехал в 7:00, скорость 180 км/ч, достиг Б в 9:00, стоял до 11:00, затем поехал обратно. Автомобиль догнал мотоциклиста, когда ехал НАЗАД. Время выезда автомобиля 7:00, время начала движения обратно 11:00. Расстояние, которое проехал мотоциклист к 11:00: $$30 imes 4 = 120$$ км. Расстояние, которое проехал автомобиль к 11:00: 360 км (доехал до Б). К 11:00 автомобиль находится в пункте Б, мотоциклист на 120 км. Теперь автомобиль едет обратно. Скорость автомобиля = 180 км/ч. Расстояние автомобиля $$s_а = 360 - 180(t-11)$$. Расстояние мотоциклиста $$s_м = 120 + 30(t-11)$$. Приравниваем: $$120 + 30(t-11) = 360 - 180(t-11)$$. $$120 + 30t - 330 = 360 - 180t + 1980$$. $$210t = 360 + 330 + 1980 - 120 = 2550$$. $$t = 2550 / 210 imes 60 ext{ минут} = 12.14 ext{ часа}$$. Время догона = 11:00 + (12.14 - 11) часа = 11:00 + 1.14 часа = 11:00 + 1 час 8 минут = 12:08. Расстояние: $$120 + 30(12.14 - 11) = 120 + 30(1.14) = 120 + 34.2 = 154.2$$ км.
20. На графике точка пересечения находится на 150 км. Это и есть расстояние.

Ответ: 150 км