5. Сумма двух натуральных чисел равна 15, а сумма квадратов этих чисел равна 113. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим два натуральных числа как x и y.

По условию задачи у нас есть два уравнения:

1. x + y = 15 (сумма чисел равна 15)
2. x² + y² = 113 (сумма квадратов чисел равна 113)

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, y:

y = 15 - x

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

x² + (15 - x)² = 113

Раскроем скобки:

x² + (225 - 30x + x²) = 113

Приведем подобные слагаемые:

2x² - 30x + 225 = 113

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

2x² - 30x + 225 - 113 = 0

2x² - 30x + 112 = 0

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

x² - 15x + 56 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета:

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 15, а произведение равно 56.

Пробуем подобрать пары множителей числа 56:

• 1 * 56 = 56 (1 + 56 = 57, не подходит)
• 2 * 28 = 56 (2 + 28 = 30, не подходит)
• 4 * 14 = 56 (4 + 14 = 18, не подходит)
• 7 * 8 = 56 (7 + 8 = 15, подходит!)

Значит, возможные значения для x — это 7 и 8.

Если x = 7, то найдем y из уравнения y = 15 - x:

y = 15 - 7 = 8

Проверим первое условие: 7 + 8 = 15 (верно).

Проверим второе условие: 7² + 8² = 49 + 64 = 113 (верно).

Если x = 8, то найдем y из уравнения y = 15 - x:

y = 15 - 8 = 7

Проверим первое условие: 8 + 7 = 15 (верно).

Проверим второе условие: 8² + 7² = 64 + 49 = 113 (верно).

Таким образом, искомые числа — это 7 и 8.

Ответ: 7 и 8