5\(\sqrt{11}\) \(\cdot\) 4\(\sqrt{3}\) \(\cdot\) \(\sqrt{33}\) =

Решение:

Для упрощения выражения объединим множители и воспользуемся свойством корней \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) и \( c \cdot \sqrt{a} = \sqrt{c^2 \cdot a} \) или \( c \cdot \sqrt{a} \cdot d \cdot \sqrt{b} = (c \cdot d) \sqrt{a \cdot b} \).

1. Объединим числовые множители: \( 5 \cdot 4 = 20 \).
2. Объединим выражения под корнями: \( \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{33} = \sqrt{11 \cdot 3 \cdot 33} \).
3. Вычислим произведение под корнем: \( 11 \cdot 3 \cdot 33 = 33 \cdot 33 = 33^2 \).
4. Извлечём корень: \( \sqrt{33^2} = 33 \).
5. Умножим числовой множитель на результат извлечения корня: \( 20 \cdot 33 = 660 \).

Таким образом, исходное выражение равно:

\[ 5\sqrt{11} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{33} = (5 \cdot 4) \sqrt{11 \cdot 3 \cdot 33} = 20 \sqrt{363 \cdot 11} = 20 \sqrt{3993} \]

Упростим корень:

\[ 20 \sqrt{11 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 11)} = 20 \sqrt{11^2 \cdot 3^2} = 20 \cdot 11 \cdot 3 = 20 \cdot 33 = 660 \]Alternatively:

\[ 5\sqrt{11} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{33} = 5 \cdot 4 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3 \cdot 11} \]
\(= 20 \cdot \sqrt{11 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11} \)
\(= 20 \cdot \sqrt{11^2 \cdot 3^2} \)
\(= 20 \cdot 11 \cdot 3 \)
\(= 20 \cdot 33 \)
\(= 660 \)

Ответ: 660