5. Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем 145?

Решение:

Чтобы найти количество несократимых правильных дробей со знаменателем 145, нужно посчитать количество натуральных чисел, меньших 145 и взаимно простых с числом 145. Это значение равно функции Эйлера \(\phi(145)\).

Сначала разложим число 145 на простые множители:

\( 145 = 5 \cdot 29 \)

Теперь вычислим \(\phi(145)\) по формуле:

\[ \phi(n) = n \cdot \prod_{p|n} \left(1 - \frac{1}{p}\right) \]

где \(p\) — простые делители числа \(n\).

\[ \phi(145) = 145 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{29}\right) \]

\[ \phi(145) = 145 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{28}{29} \]

\[ \phi(145) = \frac{145}{5 \cdot 29} \cdot 4 \cdot 28 \]

\[ \phi(145) = \frac{5 \cdot 29}{5 \cdot 29} \cdot 4 \cdot 28 \]

\[ \phi(145) = 1 \cdot 4 \cdot 28 = 112 \]

Таким образом, существует 112 чисел, меньших 145 и взаимно простых с ним. Каждому такому числу \(a\) соответствует несократимая правильная дробь \(\frac{a}{145}\).

Ответ: 112