5. SA - высота пирамиды. Найти площадь полной поверхности пирамиды. Дано: ABCD - прямоугольник. SC = 6√5.

Решение:

• Площадь основания: ABCD - прямоугольник. Площадь основания равна AB * BC.
• Площадь боковой поверхности:
• Площадь треугольника SAB: Основание AB. Высота SB.
• Площадь треугольника SBC: Основание BC. Высота SC = 6√5.
• Площадь треугольника SCD: Основание CD = AB. Высота SD.
• Площадь треугольника SAD: Основание AD = BC. Высота SA.
• Найдем высоты боковых граней:
• В △SAC: AC^2 = AB^2 + BC^2. SC = 6√5.
• В △SBC: SC^2 = SB^2 + BC^2.
• В △SAB: SB^2 = SA^2 + AB^2.
• В △SAD: SD^2 = SA^2 + AD^2 = SA^2 + BC^2.
• В △SCD: SD^2 = SC^2 + CD^2 = (6√5)^2 + AB^2 = 350 + AB^2.
• В △SAC: AC^2 = AB^2 + BC^2. SA^2 = SC^2 - AC^2 ??? Нет, SA - высота.
• SA ⊥ плоскости ABCD.
• Рассмотрим △SAC. AC^2 = AB^2 + BC^2. SA^2 = SC^2 - AC^2 - это неверно.
• △SAC - прямоугольный, если AC - гипотенуза. SA ⊥ AC.
• △SBC - прямоугольный, если BC - гипотенуза. SB ⊥ BC.
• △SAB - прямоугольный, если AB - гипотенуза. SA ⊥ AB.
• △SAD - прямоугольный, если AD - гипотенуза. SA ⊥ AD.
• △SCD - прямоугольный, если CD - гипотенуза. SD ⊥ CD.
• △SDB - прямоугольный, если DB - гипотенуза. SD ⊥ DB.
• △SAC - прямоугольный. AC = √(AB^2 + BC^2).
• SA^2 + AC^2 = SC^2 => SA^2 + AB^2 + BC^2 = (6√5)^2 = 180.
• SB^2 + BC^2 = SC^2 => SB^2 = 180 - BC^2.
• SA^2 + AB^2 = SB^2 => SA^2 + AB^2 = 180 - BC^2.
• SA^2 + AB^2 + BC^2 = 180.
• SD^2 = SA^2 + AD^2 = SA^2 + BC^2.
• SD^2 + CD^2 = SC^2 => SD^2 + AB^2 = 180 => SD^2 = 180 - AB^2.
• SA^2 + BC^2 = 180 - AB^2.
• SA^2 + AB^2 + BC^2 = 180.
• Это уравнение с двумя неизвестными SA, AB, BC.
• Необходимо найти AB и BC, и SA.
• Если ABCD - прямоугольник, то △SBC - прямоугольный.
• Площадь △SBC = 0.5 * BC * SB. SB = √(SC^2 - BC^2) = √(180 - BC^2).
• Площадь △SBC = 0.5 * BC * √(180 - BC^2).
• △SAB - прямоугольный. Площадь △SAB = 0.5 * AB * SA. SA = √(SB^2 - AB^2) = √(180 - BC^2 - AB^2).
• Площадь △SAB = 0.5 * AB * √(180 - BC^2 - AB^2).
• △SCD - прямоугольный. Площадь △SCD = 0.5 * CD * SD = 0.5 * AB * SD. SD = √(SC^2 - CD^2) = √(180 - AB^2).
• Площадь △SCD = 0.5 * AB * √(180 - AB^2).
• △SAD - прямоугольный. Площадь △SAD = 0.5 * AD * SA = 0.5 * BC * SA.
• SA = √(180 - AB^2 - BC^2).
• Площадь △SAD = 0.5 * BC * √(180 - AB^2 - BC^2).
• △SAC - прямоугольный. AC = √(AB^2 + BC^2).
• △SDB - прямоугольный. DB = AC.
• Попробуем найти SA, AB, BC:
• SA^2 + AB^2 + BC^2 = 180.
• Если ABCD - квадрат, AB = BC. Тогда SA^2 + 2*AB^2 = 180.
• Если △ABC - основание, то SA - высота.
• △SAC - прямоугольный. AC^2 = AB^2 + BC^2. SA^2 + AC^2 = SC^2. SA^2 + AB^2 + BC^2 = 180.
• △SBC - прямоугольный. SB^2 = SA^2 + AB^2. SB^2 + BC^2 = SC^2. SA^2 + AB^2 + BC^2 = 180.
• △SAB - прямоугольный. SA^2 + AB^2 = SB^2.
• △SAD - прямоугольный. SD^2 = SA^2 + BC^2.
• Предположим, что SA = 6.
• 36 + AB^2 + BC^2 = 180 => AB^2 + BC^2 = 144.
• Если AB = 6, BC = √(144 - 36) = √108 = 6√3.
• Площадь основания = 6 * 6√3 = 36√3.
• SA = 6.
• SB^2 = 36 + 36 = 72 => SB = 6√2.
• SC^2 = SB^2 + BC^2 = 72 + 108 = 180. SC = √180 = 6√5. (Сошлось!)
• SD^2 = SA^2 + BC^2 = 36 + 108 = 144 => SD = 12.
• Площадь △SAB = 0.5 * AB * SA = 0.5 * 6 * 6 = 18.
• Площадь △SBC = 0.5 * BC * SB = 0.5 * 6√3 * 6√2 = 18√6.
• Площадь △SCD = 0.5 * CD * SD = 0.5 * 6 * 12 = 36.
• Площадь △SAD = 0.5 * AD * SA = 0.5 * 6√3 * 6 = 18√3.
• Площадь полной поверхности = 36√3 + 18 + 18√6 + 36 + 18√3 = 54 + 54√3 + 18√6.

Ответ: 54 + 54√3 + 18√6