5. Рис. 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°) BD — высота, тогда: а) … = √(x·y); б) AB = √(x·…); в) BC = √(…·(x + y)); г) (x + y)² = …; д) ΔABD ~ Δ …; е) S_ABD / S_BDC = …

Пусть \(AD=x\), \(DC=y\), тогда \(AC=x+y\).

1. По теореме о высоте, проведённой к гипотенузе: \(BD^2=AD\cdot DC\), поэтому \(BD=\sqrt{x\cdot y}\).
2. По теореме о катете: \(AB^2=AD\cdot AC=x(x+y)\), поэтому \(AB=\sqrt{x(x+y)}\).
3. Аналогично: \(BC^2=DC\cdot AC=y(x+y)\), поэтому \(BC=\sqrt{y(x+y)}\).
4. По теореме Пифагора: \(AC^2=AB^2+BC^2\), следовательно, \((x+y)^2=AB^2+BC^2\).
5. Прямоугольные треугольники подобны: \(\triangle ABD\sim\triangle CBD\).
6. У треугольников \(ABD\) и \(BDC\) общая высота к прямой \(AC\), поэтому отношение площадей равно отношению оснований: \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BDC}}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{x}{y}\).

Ответ: а) \(BD\); б) \(x+y\); в) \(y\); г) \(AB^2+BC^2\); д) \(\triangle CBD\); е) \(\dfrac{x}{y}\).