5. Решите задачу. Введите ответ в предложенные поля. В ответе укажите только число без пробелов. Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 6 см. Меньшая боковая сторона образует с основанием угол 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Дано: Трапеция ABCD, ∠D = 90°, BC = 6 см, ∠C = 45°, AB = BC (меньшая боковая сторона).
Найти: S_ABCD.

1. Так как трапеция прямоугольная, то ∠D = 90°. По условию, меньшее основание равно BC = 6 см.
2. Меньшая боковая сторона прилегает к меньшему основанию, значит, AB = 6 см.
3. Угол при основании C равен 45° (∠C = 45°).
4. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Получим прямоугольник BCHK, где K - точка на AD. Тогда BC = HK = 6 см, BH = CK.
5. В прямоугольном треугольнике BHC, ∠BHC = 90°, ∠C = 45°. Следовательно, ∠HBC = 180° - 90° - 45° = 45°.
6. Так как в треугольнике BHC два угла равны 45°, то он равнобедренный: BH = HC.
7. Так как AB — меньшая боковая сторона, и она равна 6 см, то BH = AB = 6 см.
8. Тогда HC = 6 см.
9. Большее основание AD = AH + HD. В прямоугольнике BCHK, AH = BC = 6 см.
10. AD = 6 см + 6 см = 12 см.
11. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.
12. \( S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{6 + 12}{2} \cdot 6 = \frac{18}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54 \) см²

Ответ: площадь трапеции равна 54