5. Решите задачу по данным рисунка.

Решение:

На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Закрашенная часть является квадратом с площадью \( S = 25 \).

Из условия, что закрашенная часть является квадратом, следует, что её сторона равна \( √{25} = 5 \).

Так как это квадрат, то его стороны равны. Обозначим сторону квадрата как \( a \). Тогда \( a = 5 \).

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому \( AD = BC \) и \( AB = DC \).

Также в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^\circ \).

На рисунке обозначено, что \( AD = 13 \).

Площадь параллелограмма может быть вычислена по формуле \( S = a · h \), где \( a \) - сторона, а \( h \) - высота, проведенная к этой стороне.

В данном случае, сторона квадрата, равная 5, является высотой параллелограмма, проведенной к стороне DC.

Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = DC · h \).

Мы знаем, что \( DC = AB \) и \( h = 5 \).

Нам нужно найти сторону \( DC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной AD, высотой и частью стороны DC. Пусть высота из D на AB будет h. Тогда мы имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом h=5. Вторая часть стороны DC будет равна \( √{13^2 - 5^2} = √{169 - 25} = √{144} = 12 \).

Однако, на рисунке показано, что высота проведена из вершины A к основанию DC. Эта высота равна стороне квадрата, то есть 5. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном стороной AD, высотой (5) и частью стороны DC, гипотенуза AD равна 13. Пусть часть стороны DC равна x. Тогда \( x = √{13^2 - 5^2} = 12 \).

Длина стороны DC равна сумме этой части (12) и стороны квадрата (5). То есть \( DC = 12 + 5 = 17 \).

Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = DC · h = 17 · 5 = 85 \).

Проверка:

Если \( DC = 17 \) и \( AD = 13 \), то \( S_{ABCD} = 85 \).

С другой стороны, если \( AD = 13 \) и \( AB = 17 \), а высота к стороне AD равна \( h' \), то \( 13 · h' = 85 \), \( h' = \frac{85}{13} \).

На рисунке показана сторона квадрата, равная 5. Эта сторона является высотой, опущенной из вершины A на сторону DC. Значит, \( h = 5 \).

Мы имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой \( AD = 13 \) и катетом \( h = 5 \). Пусть \( x \) — отрезок стороны \( DC \), который является другим катетом этого треугольника. Тогда \( x^2 + 5^2 = 13^2 \) \( x^2 + 25 = 169 \) \( x^2 = 144 \) \( x = 12 \).

Сторона \( DC = x + 5 \) (где 5 — сторона квадрата, являющаяся основанием квадрата) \( DC = 12 + 5 = 17 \).

Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = DC · h = 17 · 5 = 85 \).

Ответ: 85