5. Решите систему уравнений: {-x+y=7 (x² + y² = 25 Ответ:

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

1. Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = x + 7 \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( x^2 + (x + 7)^2 = 25 \).
3. Раскроем скобки и приведем подобные члены:
   • \( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 25 \)
   • \( 2x^2 + 14x + 49 - 25 = 0 \)
   • \( 2x^2 + 14x + 24 = 0 \)
4. Разделим все уравнение на 2: \( x^2 + 7x + 12 = 0 \).
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 · 1 · 12 = 49 - 48 = 1 \).
6. Найдем корни для \( x \):
   • \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 · 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
   • \( x_2 = \frac{-7 - · 1}{2 · 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
7. Найдем соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) в уравнение \( y = x + 7 \):
   • При \( x_1 = -3 \): \( y_1 = -3 + 7 = 4 \).
   • При \( x_2 = -4 \): \( y_2 = -4 + 7 = 3 \).
8. Проверим полученные решения подстановкой во второе уравнение \( x^2 + y^2 = 25 \):
   • Для \( (-3; 4) \): \( (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \) (верно).
   • Для \( (-4; 3) \): \( (-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \) (верно).

Ответ: (-3; 4), (-4; 3).