5. Решите неравенство \( (x-3)(x+5)(4-x) \ge 0 \)

Решение:

Это неравенство методом интервалов:

1. Найдём корни уравнения \( (x-3)(x+5)(4-x) = 0 \). Корни: \( x=3 \), \( x=-5 \), \( x=4 \).
2. Разместим корни на числовой оси в порядке возрастания: \( -5, 3, 4 \).
3. Определим знаки интервалов. Возьмем пробные точки:
   • \( x < -5 \) (например, \( x=-6 \)): \( (-6-3)(-6+5)(4-(-6)) = (-9)(-1)(10) = 90 > 0 \).
   • \( -5 < x < 3 \) (например, \( x=0 \)): \( (0-3)(0+5)(4-0) = (-3)(5)(4) = -60 < 0 \).
   • \( 3 < x < 4 \) (например, \( x=3.5 \)): \( (3.5-3)(3.5+5)(4-3.5) = (0.5)(8.5)(0.5) = 2.125 > 0 \).
   • \( x > 4 \) (например, \( x=5 \)): \( (5-3)(5+5)(4-5) = (2)(10)(-1) = -20 < 0 \).
4. Нам нужно \( \ge 0 \), поэтому выбираем интервалы, где знак '+', включая корни.

Ответ: \( [-5;3] \cup [4;+ \infty) \)