5 Решите неравенство (х - 5)(х-7) < 0.

Решение:

Чтобы решить неравенство \( (x - 5)(x - 7) < 0 \), найдём корни соответствующих уравнений:

1. \( x - 5 = 0 \implies x = 5 \)
2. \( x - 7 = 0 \implies x = 7 \)

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; 5) \), \( (5; 7) \) и \( (7; +\infty) \). Проверим знак выражения \( (x - 5)(x - 7) \) в каждом интервале:

• При \( x < 5 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 5)(0 - 7) = (-5)(-7) = 35 > 0 \).
• При \( 5 < x < 7 \) (например, \( x = 6 \)): \( (6 - 5)(6 - 7) = (1)(-1) = -1 < 0 \).
• При \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \( (8 - 5)(8 - 7) = (3)(1) = 3 > 0 \).

Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше нуля. Таким интервалом является \( (5; 7) \).

Ответ: \( (5; 7) \).