Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Решить систему уравнений: а) \(\begin{cases}3^{\log_3(3y-x+24)}=27,\\ \log_2(2x-2y)-\log_2(5-y^2)=1.\end{cases}\)Фото задания

Ответ:

  1. Из первого уравнения, поскольку \(3^{\log_3 A}=A\) при \(A>0\), получаем:

    \(3y-x+24=27\), откуда \(x=3y-3\).

  2. Во втором уравнении учитываем область определения: \(2x-2y>0\) и \(5-y^2>0\). Объединяем логарифмы:

    \(\log_2\left(\frac{2x-2y}{5-y^2}\right)=1\), поэтому \(2x-2y=2(5-y^2)\).

  3. Подставляем \(x=3y-3\):

    \(2(3y-3)-2y=10-2y^2\),

    \(y^2+2y-8=0\),

    \((y-2)(y+4)=0\). Значит, \(y=2\) или \(y=-4\).

  4. Проверяем область определения. Из \(5-y^2>0\) следует \(-\sqrt5<y<\sqrt5\), а из \(2x-2y>0\) с учётом \(x=3y-3\) следует \(y>\frac32\). Поэтому подходит только \(y=2\). Тогда \(x=3\cdot2-3=3\).

Ответ: \((x;y)=(3;2)\).