5. Произведение двух последовательных натуральных чисел меньше произведения следующих двух последовательных натуральных чисел не более чем на 60. Найдите, какое наибольшее целое значение может принимать меньшее из чисел.

Решение:

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно \( n \). Тогда эти числа — \( n \) и \( n+1 \).

Следующие два последовательных натуральных числа — \( n+2 \) и \( n+3 \).

Произведение первых двух чисел: \( n(n+1) \).

Произведение следующих двух чисел: \( (n+2)(n+3) \).

По условию, произведение двух последовательных натуральных чисел меньше произведения следующих двух последовательных натуральных чисел не более чем на 60. Это можно записать как неравенство:

\( n(n+1) \le (n+2)(n+3) - 60 \)

Раскроем скобки:

\( n^2 + n \le n^2 + 3n + 2n + 6 - 60 \)
\( n^2 + n \le n^2 + 5n - 54 \)

Вычтем \( n^2 \) из обеих частей:

\( n \le 5n - 54 \)

Перенесём \( n \) вправо, а 54 влево:

\( 54 \le 5n - n \)
\( 54 \le 4n \)

Разделим обе части на 4:

\( n \ge \frac{54}{4} \)
\( n \ge 13.5 \)

Так как \( n \) — натуральное число, то наименьшее возможное значение \( n \) равно 14.

В условии сказано: «Найдите, какое наибольшее целое значение может принимать меньшее из чисел». Это значит, что мы ищем наибольшее \( n \), для которого выполняется условие. Но неравенство \( n \ge 13.5 \) говорит нам о том, что \( n \) может быть 14, 15, 16 и так далее. Это означает, что меньшему числу нет наибольшего значения, если рассматривать только это неравенство. Однако, условие «произведение двух последовательных натуральных чисел меньше произведения следующих двух последовательных натуральных чисел не более чем на 60» предполагает, что такое отношение должно выполняться. Мы нашли, что \( n \ge 13.5 \), чтобы это условие выполнялось. Значит, наименьшее натуральное число \( n \) равно 14.

Перечитаем условие: «Произведение двух последовательных натуральных чисел меньше произведения следующих двух последовательных натуральных чисел не более чем на 60». Это означает \( n(n+1) ≤ (n+2)(n+3) \). И это неравенство выполняется для всех \( n ≥ 0 \), так как \( n^2 + n ≤ n^2 + 5n + 6 \) => \( 0 ≤ 4n + 6 \), что верно для натуральных \( n \).

Возможно, в условии имелось в виду, что разница между произведениями равна 60 или меньше 60. То есть \( (n+2)(n+3) - n(n+1) ≤ 60 \). Мы уже упростили это до \( 4n + 6 \), поэтому:

\( 4n + 6 \le 60 \)
\( 4n \le 54 \)
\( n \le \frac{54}{4} \)
\( n \le 13.5 \)

Так как \( n \) — натуральное число, наибольшее целое значение, которое может принимать \( n \) (меньшее из двух последовательных чисел), равно 13.

Проверим:

Если \( n = 13 \), числа 13 и 14. Их произведение: \( 13 \times 14 = 182 \).

Следующие два числа: 15 и 16. Их произведение: \( 15 \times 16 = 240 \).

Разница: \( 240 - 182 = 58 \). \( 58 \le 60 \). Условие выполняется.

Если \( n = 14 \), числа 14 и 15. Их произведение: \( 14 \times 15 = 210 \).

Следующие два числа: 16 и 17. Их произведение: \( 16 \times 17 = 272 \).

Разница: \( 272 - 210 = 62 \). \( 62 \not\le 60 \). Условие не выполняется.

Ответ: 13.