5) Постройте прямоугольный треугольник по высоте и медиане, проведенным к гипотенузе.

Это одна из классических задач на построение в геометрии. Вот как её можно решить:

1. Дано: прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°). Высота CH (h) и медиана CM (m), проведенные к гипотенузе AB.
2. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, CM = AM = MB = m.
3. Отсюда следует, что гипотенуза AB = 2 * m.
4. Также, точка M является центром описанной окружности.
5. Начнем построение:
• Отложи отрезок AB длиной 2m.
• Найди середину отрезка AB. Эта середина и будет точкой M (центр описанной окружности).
• Построй окружность с центром в точке M и радиусом m. Эта окружность будет описана около искомого прямоугольного треугольника.
• Теперь нам нужно построить высоту CH = h. Высота CH перпендикулярна гипотенузе AB.
• Через точку M (середину гипотенузы) проведи прямую, перпендикулярную AB. На этой прямой отложи отрезок MH длиной h. То есть, H будет находиться на расстоянии h от гипотенузы (и от точки M).
• Из точки H (или через неё) проведи прямую, параллельную AB.
• Точки пересечения этой прямой с окружностью (построенной в пункте 5) будут вершинами C. Их будет две, симметричные относительно гипотенузы, но обе дадут одинаковые по размеру прямоугольные треугольники.
• Соедини точки A и C, а также B и C. Треугольник ABC — искомый прямоугольный треугольник.
6. Проверка:
• Треугольник ABC прямоугольный, так как точка C лежит на окружности, описанной около отрезка AB (который является диаметром).
• AB = 2m — гипотенуза.
• CM = m — медиана, так как M — середина AB и C лежит на описанной окружности.
• CH = h — высота, так как мы строили её перпендикулярно AB.

Важно: Такое построение возможно только если h ≤ m. Если h > m, то построить такой треугольник невозможно, так как точка H окажется вне окружности.