5. Постройте прямоугольный треугольник по медиане, проведенной к гипотенузе, и углу, который медиана образует с одним из катетов.

Задание 5. Построение прямоугольного треугольника

Условие: Построить прямоугольный треугольник по медиане, проведенной к гипотенузе, и углу, который медиана образует с одним из катетов.

Ключевое свойство: Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Это означает, что точка, являющаяся серединой гипотенузы, равноудалена от всех трех вершин треугольника. Таким образом, медиана является радиусом описанной окружности, а гипотенуза — её диаметром.

Обозначения:

• Пусть медиана, проведенная к гипотенузе, равна m.
• Пусть угол между медианой и одним из катетов (например, катетом AC) равен α.
• Пусть прямоугольный треугольник — ABC, где ∠B = 90°. Гипотенуза — AC. Медиана — BM, где M — середина AC.

Шаги построения:

1. Постройте отрезок BM длиной m.
2. Из точки M проведите прямую под углом α к отрезку BM. На этой прямой будет лежать один из катетов (например, AC).
3. Поскольку M — середина гипотенузы AC, и BM = m = ½ AC, то точка A и точка C будут равноудалены от M. Проведите окружность с центром в точке M и радиусом, равным m. Эта окружность пройдет через точки A и C.
4. Точки A и C будут пересечением прямой, построенной на шаге 2, и окружности, построенной на шаге 3.
5. Соедините точки A, B и C. Полученный треугольник ABC будет искомым.

Примечание: Для выполнения этого построения необходимы циркуль и линейка, а также умение строить угол по заданной величине.